《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1. 在半径为6的圆中，$60^{\circ}$的圆心角所对的弧长等于$2\pi$。

答案： $2\pi$

2. 已知扇形的半径为12，圆心角为$90^{\circ}$，则扇形的弧长是$6\pi$。

答案： $6\pi$

3. 已知扇形的弧长为$12π$，圆心角为$60^{\circ}$，则扇形半径为（D）
A. 6
B. 9
C. 18
D. 36

答案： D

4. 如果一个扇形的弧长是$\frac {4}{3}π$，半径是6，那么此扇形的圆心角是$40^{\circ}$。

答案： $40^{\circ}$

5. 如图，$\triangle ABC$内接于$\odot O$，$∠A=45^{\circ}$，$\odot O$的半径为4，求$\overset{\frown }{BC}$的长。

答案：
解:如图，连接 $OB$，$OC$。
　　　　　　
$\because \angle A = 45^{\circ}$，
$\therefore \angle BOC = 90^{\circ}$
又$\because \odot O$的半径为 4，
$\therefore \overset{\frown}{BC}$的长为$\frac{90\pi × 4}{180} = 2\pi$。

6. 如图，四边形$ABCD$是半径为2的$\odot O$的内接四边形，连接$OA$，$OC$。若$∠AOC:∠ABC=4:3$，则$\overset{\frown }{AC}$的长为$ \frac{8}{5}\pi $。

答案： $ \frac{8}{5}\pi $

7. （2025·深圳开学）如图是某款“不倒翁”的示意图，$PA$，$PB$分别与$\overset{\frown }{AMB}$所在圆相切于点$A$，$B$。若该圆半径是4cm，$∠P=60^{\circ}$，则$\overset{\frown }{AMB}$的长是$\frac{16}{3}\pi$cm。

答案： $ \frac{16}{3}\pi $

8. 如图，$AB$是$\odot O$的直径，弦$CD⊥AB$于点$E$，连接$BD$，若$∠ABD=60^{\circ}$，$CD=2\sqrt {3}$，则$\overset{\frown }{BD}$的长为____（结果保留$π$）。

答案：
$ \frac{2}{3}\pi $ 解析:如图，连接 $AD$，$OD$，$\because AB$是$\odot O$的直径，$CD \perp AB$于点 $E$，$\angle ABD = 60^{\circ}$，$CD = 2\sqrt{3}$，$\therefore \angle BAD = 30^{\circ}$，$\therefore \angle BOD = 60^{\circ}$，$\therefore DE = \sqrt{3}$，在$Rt\triangle OED$中，$OE^{2} + (\sqrt{3})^{2} = (2OE)^{2}$，$\therefore OD = 2OE = 2$，$\therefore \overset{\frown}{BD}$的长$ = \frac{60\pi × 2}{180} = \frac{2}{3}\pi$。
　　　　　

9. 如图，$\triangle ABC$的顶点都在方格线的交点（格点）上。
（1）将$\triangle ABC$绕$O$点按顺时针方向旋转$90^{\circ}$得到$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$，请在图中画出$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$；
（2）求点$C$在旋转过程中所经过的路径长。

答案：
解:
(1)如图所示，$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$为所求;
　　　
(2)由勾股定理，得 $OC = \sqrt{2^{2} + 1^{2}} = \sqrt{5}$，
$\therefore$点 $C$ 在旋转过程中所经过的路径长为$\frac{90\pi × \sqrt{5}}{180} = \frac{\sqrt{5}}{2}\pi$。

10. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB=AC$，以$AB$为直径的$\odot O$分别交$AC$，$BC$于点$D$，$E$。
（1）求证：$BE=CE$；
（2）若$AB=6$，$∠BAC=54^{\circ}$，求劣弧$AD$的长。

答案：

(1)证明:如图，连接 $AE$。
　　　　　
$\because AB$是$\odot O$的直径，
$\therefore \angle AEB = 90^{\circ}$，即 $AE \perp BC$。
又$\because AB = AC$，
$\therefore AE$是边 $BC$上的中线，
$\therefore BE = CE$；
(2)解:如图，连接 $OD$。
$\because AB = 6$，
$\therefore OA = 3$，
又$\because OA = OD$，$\angle BAC = 54^{\circ}$，
$\therefore \angle AOD = 180^{\circ} - 2 × 54^{\circ} = 72^{\circ}$，
$\therefore \overset{\frown}{AD}$的长为$\frac{72 × \pi × 3}{180} = \frac{6\pi}{5}$