《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1.如图，已知直线$a// b// c$，直线$m$交直线$a$，$b$，$c$于点$A$，$B$，$C$，直线$n$交直线$a$，$b$，$c$于点$D$，$E$，$F$，若$\frac {AB}{BC}=\frac {1}{2}$，则$\frac {DE}{EF}=$（B）

A.$\frac {1}{3}$
B.$\frac {1}{2}$
C.$\frac {2}{3}$
D.1

答案： B

2.如图，已知点$D$为$\triangle ABC$边$AB$上的一点，$AD=2BD$，$DE// BC$交$AC$于$E$，$AE=6$，则$EC=$（C）

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： C

3.如图，$DE// BC$，$EF// AB$，则图中相似三角形一共有（C）

A.1对
B.2对
C.3对
D.4对

答案： C

4.如图，$CD$与$BE$交于点$A$，$DE// BC$，$AE=3$，$AD=6$，$AC=8$.
（1）求证：$\triangle ABC\backsim \triangle AED$；
（2）求$AB$的长.

答案：
(1) 证明：
∵ $ DE // BC $，
∴ $ \triangle ABC \backsim \triangle AED $；
(2) 解：
∵ $ \triangle ABC \backsim \triangle AED $，
∴ $ \frac{AE}{AB} = \frac{AD}{AC} $，
∴ $ \frac{3}{AB} = \frac{6}{8} $，
∴ $ AB = 4 $。

5.如图，直线$AB$，$CD$，$EF$被直线$a$，$b$所截，若$∠1=100^{\circ }$，$∠2=100^{\circ }$，$∠3=125^{\circ }$，$∠4=55^{\circ }$，下列结论错误的是（C）

A.$EF// CD// AB$
B.$\frac {AC}{CE}=\frac {BD}{DF}$
C.$\frac {AB}{CD}=\frac {AC}{DF}$
D.$\frac {AC}{AE}=\frac {BD}{BF}$

答案： C

6.如图，在$□ ABCD$中，$EF// AB$，$DF:FB=2:3$.
（1）若$AE=6$，求$BC$的长；
（2）若$EF=4a$，则$CD=$____10a.

答案：
(1) 解：
∵ $ EF // AB $，
∴ $ \frac{DE}{AE} = \frac{DF}{FB} $，
∵ $ AE = 6 $，$ DF : FB = 2 : 3 $，
∴ $ \frac{DE}{6} = \frac{2}{3} $，
∴ $ DE = 4 $，
∴ $ AD = AE + DE = 6 + 4 = 10 $，
∵ 四边形 $ ABCD $ 是平行四边形，
∴ $ BC = AD = 10 $。
(2) $ 10a $ 解析：
∵ $ EF // AB $，
∴ $ \triangle DEF \backsim \triangle DAB $，
∴ $ \frac{EF}{AB} = \frac{DF}{DB} $，
∵ $ DF : FB = 2 : 3 $，
∴ $ DF : DB = 2 : 5 $，
∵ $ EF = 4a $，
∴ $ \frac{4a}{AB} = \frac{2}{5} $，
∴ $ AB = 10a $，
∵ 四边形 $ ABCD $ 是平行四边形，
∴ $ CD = AB = 10a $。

7.如图，$AB$为半圆$O$的直径，$C$为$BA$延长线上一点，$CD$切半圆$O$于点$D$，连接$OD$，作$BE⊥CD$于点$E$，交半圆$O$于点$F$.已知$CE=12$，$BE=9$.
（1）求证：$\triangle COD\backsim \triangle CBE$；
（2）求半圆$O$的半径$r$的长.

答案：
(1) 证明：
∵ $ CD $ 切半圆 $ O $ 于点 $ D $，
∴ $ OD \perp CD $，
又
∵ $ BE \perp CE $，
∴ $ OD // BE $，
∴ $ \triangle COD \backsim \triangle CBE $；
(2) 解：在 $ \text{Rt} \triangle BCE $ 中，$ CE = 12 $，$ BE = 9 $，
∴ $ BC = \sqrt{CE^2 + BE^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = 15 $，
由
(1) 知 $ \triangle COD \backsim \triangle CBE $，
∴ $ \frac{OD}{BE} = \frac{OC}{BC} $，即 $ \frac{r}{9} = \frac{15 - r}{15} $，
解得 $ r = \frac{45}{8} $。