《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1. 抛物线$y = (x + 1)^2 - 3$的对称轴是（C）
A. 直线$x = 2$
B. 直线$x = 1$
C. 直线$x = -1$
D. 直线$x = -2$

答案： C

2. 将抛物线$y = x^2$向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到抛物线的解析式为（B）
A. $y = (x + 4)^2 + 3$
B. $y = (x - 4)^2 + 3$
C. $y = (x + 3)^2 - 4$
D. $y = (x - 4)^2 - 3$

答案： B

3. 由二次函数$y = 3(x - 2)^2 + 1$可知（D）
A. 其图象的开口向下
B. 其图象的对称轴为直线$x = -2$
C. 其最大值为1
D. 当$x ＜ 2$时，$y$随$x$的增大而减小

答案： D

4. 点$A(2,y_1)$，$B(3,y_2)$是二次函数$y = (x - 2)^2 + 1$图象上的两点，则$y_1$＜$y_2$（选填“＞”“＜”或“=”）。

答案： ＜

5. 已知二次函数$y = a(x - 1)^2 + 1$，当$x ＜ 1$时，$y$随$x$的增大而增大，则$a$的取值范围是（D）
A. $a \geq 0$
B. $a \leq 0$
C. $a ＞ 0$
D. $a ＜ 0$

答案： D

6. 已知二次函数$y = 2(x - 3)^2 - 2$，下列说法：①其图象开口向上；②顶点坐标为$(3,-2)$；③其图象与$y$轴的交点坐标为$(0,-2)$；④当$x \leq 3$时，$y$随$x$的增大而减小。其中正确的有（C）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

答案： C 解析：由二次函数得抛物线开口向上，顶点坐标为 $ (3, -2) $，对称轴为直线 $ x = 3 $，当 $ x \leq 3 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小，故①②④正确；令 $ x = 0 $ 可得 $ y = 16 $，故图象与 $ y $ 轴的交点坐标为 $ (0, 16) $，故③错误。综上，故说法正确的有 3 个。故选 C。

7.（循环练）解方程：$(x + 1)(x + 3) = 2$。

答案： 解：去括号得 $ x^2 + 4x + 3 = 2 $，
移项得 $ x^2 + 4x + 1 = 0 $，
配方得 $ (x + 2)^2 - 4 + 1 = 0 $，
$ (x + 2)^2 = 3 $，
$ \therefore x + 2 = \pm \sqrt{3} $，
$ \therefore x_1 = \sqrt{3} - 2 $，$ x_2 = -\sqrt{3} - 2 $。

8. 将抛物线$y = -2(x - 1)^2 - 2$先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标为$(0, -1)$。

答案： $ (0, -1) $

9. 已知二次函数$y = a(x - 2)^2 + c(a ＞ 0)$，当自变量$x$分别取$\sqrt{2}$，3，0时，对应的函数值分别为$y_1$，$y_2$，$y_3$，则$y_1$，$y_2$，$y_3$的大小关系正确的是（B）
A. $y_3 ＜ y_2 ＜ y_1$
B. $y_1 ＜ y_2 ＜ y_3$
C. $y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$
D. $y_3 ＜ y_1 ＜ y_2$

答案： B 解析：二次函数 $ y = a(x - 2)^2 + c(a ＞ 0) $，该抛物线开口向上，且对称轴是直线 $ x = 2 $，抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大。$ x $ 取 0 时所对应的点离对称轴最远，$ x $ 取 $ \sqrt{2} $ 时所对应的点离对称轴最近。故选 B。

10. 如图，抛物线$y = (x - 1)^2 + n$与$y$轴交于点$C(0,-3)$，且点$D$与点$C$关于抛物线的对称轴对称。
（1）求抛物线的解析式及点$D$的坐标；
（2）若点$P$在抛物线上，且$\triangle CDP$的面积是1，求点$P$的坐标。

答案： 解：
(1) 把点 $ C(0, -3) $ 代入 $ y = (x - 1)^2 + n $，
得 $ -3 = (0 - 1)^2 + n $，解得 $ n = -4 $，
$ \therefore $ 抛物线的解析式为 $ y = (x - 1)^2 - 4 $，
$ \therefore $ 抛物线的对称轴为直线 $ x = 1 $，
由对称的性质，得 $ D(2, -3) $，
(2) $ \because C(0, -3) $，$ D(2, -3) $，
$ \therefore CD = 2 - 0 = 2 $，设点 $ P $ 的坐标为 $ (a, b) $。
$ \therefore S_{\triangle CDP} = \frac{1}{2}CD \cdot |b - (-3)| = \frac{1}{2} × 2 \cdot |b + 3| = |b + 3| = 1 $。
$ \therefore b = -2 $ 或 $ -4 $，
① 当 $ b = -2 $ 时，$ (a - 1)^2 - 4 = -2 $，
解得 $ a_1 = 1 - \sqrt{2} $，$ a_2 = 1 + \sqrt{2} $，
此时有 $ P(1 - \sqrt{2}, -2) $ 或 $ P(1 + \sqrt{2}, -2) $；
② 当 $ b = -4 $ 时，$ (a - 1)^2 - 4 = -4 $，
解得 $ a_3 = a_4 = 1 $，此时有 $ P(1, -4) $。
综上，点 $ P $ 的坐标为 $ (1 - \sqrt{2}, -2) $ 或 $ (1 + \sqrt{2}, -2) $ 或 $ (1, -4) $。