《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1. 如图，$l_{1},l_{2},l_{3}$是一组平行线，直线AC，DF分别与这组平行线依次相交于点A，B，C和点D，E，F。若$\frac {AB}{BC}=\frac {2}{3}$，则$\frac {EF}{DF}$的值为（C）

A. $\frac {2}{5}$
B. $\frac {1}{2}$
C. $\frac {3}{5}$
D. $\frac {2}{3}$

答案： C

2. (2024·揭西期末)如图，已知D是$\triangle ABC$的边AC上一点，根据下列条件，不能判定$\triangle CAB\backsim \triangle CBD$的是（C）

A. $∠A=∠CBD$
B. $∠CBA=∠CDB$
C. $AB\cdot CD=BD\cdot BC$
D. $BC^{2}=AC\cdot CD$

答案： C 解析：
∵ $ ∠C $ 是公共角，
∴ 再加上 $ ∠A = ∠CBD $ 或 $ ∠CBA = ∠CDB $ 都可以证明 $ △CAB \backsim △CBD $，故选项 A，B 不符合题意；选项 C 中的两边成比例，但不是相应的夹角相等，
∴ 选项 C 符合题意。
∵ $ ∠C = ∠C $，若再添加 $ \frac{CD}{BC} = \frac{BC}{AC} $，即 $ BC^{2} = AC \cdot CD $，可证明 $ △CAB \backsim △CBD $，故选项 D 不符合题意。故选 C。

3. 在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将$\triangle ABC$在第一象限内按相似比2放大后得到$\triangle A'B'C'$。若点A的坐标为$(2,3)$，则点$A'$的坐标为$(4,6)$。

答案： $ (4,6) $

4. 如图，在$\triangle ABC$中，$DE// BC$，$EF// AB$。
(1) 求证：$\triangle ADE\backsim \triangle EFC$；
(2) 若$AE=2EC$，$DE=4$，求线段FC的长；
(3) 若$AE=2EC$，$S_{\triangle EFC}=4$时，四边形DEFB的面积是____16。

(1) 证明：∵ $ DE // BC $，$ EF // AB $，
∴ $ ∠ADE = ∠B = ∠EFC $，$ ∠AED = ∠C $，
∴ $ △ADE \backsim △EFC $；
(2) 解：∵ $ △ADE \backsim △EFC $，
∴ $ \frac{AE}{EC} = \frac{DE}{FC} $，
∵ $ AE = 2EC $，$ DE = 4 $，
∴ $ 2 = \frac{4}{FC} $，
∴ $ FC = 2 $。

答案：
(1) 证明：
∵ $ DE // BC $，$ EF // AB $，
∴ $ ∠ADE = ∠B = ∠EFC $，$ ∠AED = ∠C $，
∴ $ △ADE \backsim △EFC $；
(2) 解：
∵ $ △ADE \backsim △EFC $，
∴ $ \frac{AE}{EC} = \frac{DE}{FC} $，
∵ $ AE = 2EC $，$ DE = 4 $，
∴ $ 2 = \frac{4}{FC} $，
∴ $ FC = 2 $。
(3) 16

5. (2024·河源期末)如图，正方形ABCD的边长是3，$BP=CQ$，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：①$AQ⊥DP$；②$OA^{2}=OD\cdot OP$；③$S_{\triangle AOD}=S_{四边OECF}$；④当$BP=1$时，$\frac {OE}{OA}=\frac {13}{16}$，正确结论的个数为（ ）D

A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

答案： D 解析：
∵ 四边形 $ ABCD $ 是正方形，
∴ $ AD = BC $，$ ∠DAB = ∠ABC = 90^{\circ} $，
∵ $ BP = CQ $，
∴ $ AP = BQ $，在 $ △DAP $ 与 $ △ABQ $ 中，$ \begin{cases} AD = AB, \\ ∠DAP = ∠ABQ, \\ AP = BQ, \end{cases} $
∴ $ △DAP \cong △ABQ(SAS) $，
∴ $ ∠P = ∠Q $，
∵ $ ∠Q + ∠QAB = 90^{\circ} $，
∴ $ ∠P + ∠QAB = 90^{\circ} $，
∴ $ ∠AOP = 90^{\circ} $，
∴ $ AQ \perp DP $，故 ① 正确；
∵ $ ∠DOA = ∠AOP = 90^{\circ} $，$ ∠ADO + ∠P = ∠ADO + ∠DAO = 90^{\circ} $，
∴ $ ∠DAO = ∠P $，
∴ $ △DAO \backsim △APO $，
∴ $ \frac{AO}{DO} = \frac{OP}{OA} $，
∴ $ AO^{2} = OD \cdot OP $，故 ② 正确；在 $ △CQF $ 与 $ △BPE $ 中，$ \begin{cases} ∠FCQ = ∠EBP, \\ CQ = BP, \\ ∠Q = ∠P, \end{cases} $
∴ $ △CQF \cong △BPE(ASA) $，
∴ $ CF = BE $，
∴ $ DF = CE $，在 $ △ADF $ 与 $ △DCE $ 中，$ \begin{cases} AD = CD, \\ ∠ADC = ∠DCE, \\ DF = CE, \end{cases} $
∴ $ △ADF \cong △DCE(SAS) $，
∴ $ S_{△ADF} = S_{△DCE} $，
∴ $ S_{△ADF} - S_{△DFO} = S_{△DCE} - S_{△DOF} $，即 $ S_{△AOD} = S_{四边形OECF} $，故 ③ 正确；
∵ $ BP = 1 $，$ AB = 3 $，
∴ $ AP = 4 $，
∵ $ △PBE \backsim △PAD $，
∴ $ \frac{BP}{BE} = \frac{PA}{DA} = \frac{4}{3} $，
∴ $ BE = \frac{3}{4} $，
∴ $ QE = \frac{13}{4} $，
∵ $ △QOE \backsim △PAD $，
∴ $ \frac{OQ}{PA} = \frac{OE}{AD} = \frac{QE}{PD} = \frac{\frac{13}{4}}{5} = \frac{13}{20} $，
∴ $ OQ = \frac{13}{5} $，$ OE = \frac{39}{20} $，
∴ $ AO = 5 - OQ = \frac{12}{5} $，
∴ $ \frac{OE}{OA} = \frac{13}{16} $，故 ④ 正确。
故选 D。

6. 如图，某测量工作人员的眼睛A与标杆顶端F，铁塔顶端E在一条直线上，已知此人眼睛距离地面的高为1.6m，标杆高为3.2m，且$BC=1m$，$CD=5m$，则铁塔的高$DE=$11.2m。

答案： 11.2

7. 如图，直线$y=kx+b$与反比例函数$y=\frac {6}{x}(x＞0)$的图象分别交于点$A(m,3)$和点$B(6,n)$，与坐标轴分别交于点C和点D。
(1) 求直线AB的解析式；
(2) 若点P是x轴上一动点，当$\triangle COD$与$\triangle ADP$相似时，直接写出点P的坐标。

答案：
解：
(1)
∵ 点 $ A $，$ B $ 在 $ y = \frac{6}{x} $ 上，
∴ $ \frac{6}{m} = 3 $，$ \frac{6}{6} = n $，
∴ $ m = 2 $，$ n = 1 $，
∴ $ A $ 点坐标为 $ (2,3) $，$ B $ 点坐标为 $ (6,1) $，
则 $ \begin{cases} 2k + b = 3, \\ 6k + b = 1, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} k = - \frac{1}{2}, \\ b = 4, \end{cases} $
∴ 直线 $ AB $ 的解析式为 $ y = - \frac{1}{2}x + 4 $；
(2)
∵ $ ∠ODC = ∠ADP $，
∴ $ △COD $ 与 $ △ADP $ 相似有 $ ∠PAD = ∠COD = 90^{\circ} $ 和 $ ∠APD = ∠COD = 90^{\circ} $ 两种情况。
① 如答图 1，当 $ ∠PAD = ∠COD = 90^{\circ} $ 时。

在 $ y = - \frac{1}{2}x + 4 $ 中，令 $ x = 0 $ 得 $ y = 4 $，令 $ y = 0 $ 得 $ x = 8 $，
∴ 点 $ C $ 坐标为 $ (0,4) $，点 $ D $ 坐标为 $ (8,0) $，
∴ $ OC = 4 $，$ OD = 8 $，$ AD = \sqrt{(8 - 2)^{2} + (0 - 3)^{2}} = 3\sqrt{5} $，
在 $ Rt△OCD $ 中，由勾股定理得 $ CD = \sqrt{4^{2} + 8^{2}} = 4\sqrt{5} $，
∵ $ △COD \backsim △PAD $，
∴ $ \frac{CD}{PD} = \frac{OD}{AD} $，即 $ \frac{4\sqrt{5}}{PD} = \frac{8}{3\sqrt{5}} $，
∴ $ PD = \frac{15}{2} $，
∴ $ OP = OD - PD = \frac{1}{2} $，
∴ 点 $ P $ 坐标为 $ (\frac{1}{2},0) $；
② 如答图 2，当 $ ∠APD = ∠COD = 90^{\circ} $ 时。

∵ $ AP \perp OD $，$ A(2,3) $，
∴ 点 $ P $ 坐标为 $ (2,0) $。
综上所述，当 $ △COD $ 与 $ △ADP $ 相似时，点 $ P $ 的坐标为 $ (\frac{1}{2},0) $ 或 $ (2,0) $。