《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1.若$x_{1},x_{2}$是一元二次方程$x^{2}-2x-5=0$的两根,则$x_{1}\cdot x_{2}$的值为 (A)
A.-5
B.5
C.-2
D.2

答案： A

2.一元二次方程$x^{2}-3x=0$的两根分别为$x_{1}$和$x_{2}$,则$x_{1}+x_{2}$为 (C)
A.-3
B.1
C.3
D.-1

答案： C

3.若关于x的一元二次方程$x^{2}-8x+m=0$的两根为$x_{1},x_{2}$,且$x_{1}=3x_{2}$,则m的值为 (C)
A.4
B.8
C.12
D.16

答案： C

4.已知方程$2x^{2}+kx-6=0$的一个根是-3,求方程的另一根及k的值.

答案： 【解析】：
1. 首先，设方程$2x^{2}+kx - 6 = 0$的另一个根为$x_1$。
根据韦达定理，对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，两根$x_1$，$x_2$有$x_1 + x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
在方程$2x^{2}+kx - 6 = 0$中，$a = 2$，$b = k$，$c=-6$，已知一个根$x_2=-3$。
2. 然后，利用$x_1x_2=\frac{c}{a}$求另一个根$x_1$：
由$x_1x_2=\frac{c}{a}$可得$x_1×(-3)=\frac{-6}{2}$。
即$-3x_1=-3$，两边同时除以$-3$，解得$x_1 = 1$。
3. 最后，利用$x_1 + x_2=-\frac{b}{a}$求$k$的值：
由$x_1 + x_2=-\frac{b}{a}$可得$1+( - 3)=-\frac{k}{2}$。
即$-2=-\frac{k}{2}$，两边同时乘以$-2$，解得$k = 4$。
【答案】：方程的另一根为$1$，$k$的值为$4$。

5.设$x_{1},x_{2}$是一元二次方程$x^{2}-3x-1=0$的两个实数根,求$\frac {1}{x_{1}}+\frac {1}{x_{2}}$的值.

答案： 【解析】：本题可先根据韦达定理得出$x_{1}+x_{2}$与$x_{1}x_{2}$的值，再将$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}$进行通分变形，最后代入求值。
- **步骤一：根据韦达定理求$x_{1}+x_{2}$与$x_{1}x_{2}$的值**
对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$，若方程的两根为$x_{1}$和$x_{2}$，根据韦达定理可知$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$，$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$。
在方程$x^{2}-3x - 1 = 0$中，$a = 1$，$b = -3$，$c = -1$，所以可得$x_{1}+x_{2}=-\frac{-3}{1}= 3$，$x_{1}x_{2}=\frac{-1}{1}=-1$。
- **步骤二：对$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}$进行通分变形**
根据分式的加法法则，对$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}$进行通分可得：$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{2}}{x_{1}x_{2}}+\frac{x_{1}}{x_{1}x_{2}}=\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}$。
- **步骤三：代入$x_{1}+x_{2}$与$x_{1}x_{2}$的值进行计算**
将$x_{1}+x_{2}= 3$，$x_{1}x_{2}=-1$代入$\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}$可得：$\frac{3}{-1}=-3$。
【答案】：$-3$

6.已知方程$x^{2}+bx+3=0$的一个根为$\sqrt {5}+\sqrt {2}$,则方程的另一个根为$\sqrt{5}-\sqrt{2}$.

答案： 6

7.已知关于x的方程$x^{2}+(2k-1)x+k^{2}-1=0.$
(1)若方程有两个不相等的实数根,求k的取值范围;
(2)若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长,且$k=-2$,求该矩形的对角线L的长.

答案： 故 $ k $ 的取值范围为 $ k ＜ \frac{5}{4} $；
(2) $ \because k = -2 $，此时方程为 $ x^2 - 5x + 3 = 0 $，
设方程 $ x^2 - 5x + 3 = 0 $ 的两个根为 $ x_1 $，$ x_2 $。
$ \therefore x_1 + x_2 = 5 $，$ x_1 x_2 = 3 $，
$ \because $ 方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，
$ \therefore L = \sqrt{x_1^2 + x_2^2} = \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2} = \sqrt{19} $。

8.阅读下列材料,并解决问题:
①已知方程$x^{2}+3x+2=0$的两根分别为$x_{1}=-1,x_{2}=-2$,计算:$x_{1}+x_{2}=$-3,$x_{1}\cdot x_{2}=$2;
②已知方程$x^{2}-3x-4=0$的两根分别为$x_{1}=4,x_{2}=-1$,计算:$x_{1}+x_{2}=$3,$x_{1}\cdot x_{2}=$-4;
③已知关于x的方程$x^{2}+px+q=0$有两根分别记作$x_{1},x_{2}$,且$x_{1}=\frac {-p+\sqrt {p^{2}-4q}}{2},x_{2}=\frac {-p-\sqrt {p^{2}-4q}}{2}$,请通过计算$x_{1}+x_{2}$及$x_{1}\cdot x_{2}$,探究出它们与p、q的关系.
解：∵$x_1 = \frac{-p + \sqrt{p^2 - 4q}}{2}$，$x_2 = \frac{-p - \sqrt{p^2 - 4q}}{2}$，∴$x_1 + x_2 = \frac{-p + \sqrt{p^2 - 4q}}{2} + \frac{-p - \sqrt{p^2 - 4q}}{2} = -p$，$x_1 x_2 = \frac{-p + \sqrt{p^2 - 4q}}{2} \cdot \frac{-p - \sqrt{p^2 - 4q}}{2} = q$，即$x_1 + x_2 = -p$，$x_1 x_2 = q$。

答案： ① -3 2 ② 3 -4 解析：① $ \because x_1 = -1 $，$ x_2 = -2 $，$ \therefore x_1 + x_2 = -3 $，$ x_1 \cdot x_2 = 2 $；
② $ \because x_1 = 4 $，$ x_2 = -1 $，
$ \therefore x_1 + x_2 = 3 $，$ x_1 \cdot x_2 = -4 $；
③ 解：$ \because x_1 = \frac{-p + \sqrt{p^2 - 4q}}{2} $，
$ x_2 = \frac{-p - \sqrt{p^2 - 4q}}{2} $，
$ \therefore x_1 + x_2 = \frac{-p + \sqrt{p^2 - 4q}}{2} + \frac{-p - \sqrt{p^2 - 4q}}{2} = -p $，
$ x_1 x_2 = \frac{-p + \sqrt{p^2 - 4q}}{2} \cdot \frac{-p - \sqrt{p^2 - 4q}}{2} = q $，
即 $ x_1 + x_2 = -p $，$ x_1 x_2 = q $。