《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1. 抛物线$y = - 2(x - 3)^2$的顶点坐标和对称轴分别为 (B)
A. $(-3,0)$，直线$x = 3$
B. $(3,0)$，直线$x = 3$
C. $(0,-3)$，直线$x = - 3$
D. $(0,3)$，直线$x = - 3$

答案： B

2. 二次函数$y = 7(x + 3)^2$的形状是抛物线；开口向上；对称轴是直线 $ x = -3 $；顶点坐标是$ (-3, 0) $，当$ x ＜ -3 $时，$y$随$x$的增大而减小，当$ x ＞ -3 $时，$y$随$x$的增大而增大，当$ x = -3 $时，$y$有最小值，最小值为0.

答案： 抛物线 向上 直线 $ x = -3 $ $ (-3, 0) $ $ x ＜ -3 $ 减小 $ x ＞ -3 $ 增大 $ x = -3 $ 小 小 0

3. 抛物线$y = 3(x - 2)^2$向左平移5个单位长度，得到抛物线$ y = 3(x + 3)^2 $.

答案： $ y = 3(x + 3)^2 $

4. 抛物线$y = - 3(x + 1)^2$不经过的象限是 (A)
A. 第一、二象限
B. 第二、四象限
C. 第三、四象限
D. 第二、三象限

答案： A 解析：
∵ 抛物线开口向下，对称轴为 $ x = -1 $，顶点坐标为 $ (-1, 0) $，
∴ 抛物线经过第三、四象限，不经过第一、二象限。故选 A。

5. 点$P_1(-3,y_1)$，$P_2(3,y_2)$，$P_3(5,y_3)$均在二次函数$y = - 6(x + 1)^2$的图象上，则$y_1$，$y_2$，$y_3$的大小关系是$ y_1 ＞ y_2 ＞ y_3 $（用“＞”来表示）.

答案： $ y_1 ＞ y_2 ＞ y_3 $

6. 在平面直角坐标系中，二次函数$y = a(x - h)^2$的图象不可能是 (C)

答案： C

7. 已知二次函数$y = - (x - h)^2$（$h$为常数），在自变量$x$的值满足$1\leqslant x\leqslant 3$的情况下，与其对应的函数值$y$的最大值为$-4$，则$h$的值为 (A)
A. 5或$-1$
B. 5或1
C. 3或5
D. $-1$或3

答案： A 解析：由题意知，当 $ h \leq 1 $，$ x = 1 $ 时，函数可得最大值 -4，即 $ -4 = -(1 - h)^2 $，解得 $ h_1 = 3 $（舍去），$ h_2 = -1 $；当 $ 1 ＜ h ＜ 3 $ 时，矛盾，不存在；当 $ h \geq 3 $，$ x = 3 $ 时，函数取得最大值 -4，即 $ -4 = -(3 - h)^2 $，解得 $ h_3 = 1 $（舍去），$ h_4 = 5 $；由此可得 $ h $ 的值为 -1 或 5。故选 A。

8. 已知二次函数$y = 2(x - 1)^2$.
（1）当$x = - 1$时，函数值=8；
（2）当$-1 ＜ x\leqslant 3$时，$y$的取值范围是$ 0 \leq y \leq 8 $；
（3）当$0\leqslant x ＜ 5$时，$y$的取值范围是$ 0 \leq y ＜ 32 $.

答案：
(1) 8
(2) $ 0 \leq y \leq 8 $
(3) $ 0 \leq y ＜ 32 $

9. 如图，抛物线$y = \frac{1}{2}(x - 4)^2 - 1$与直线$y = \frac{1}{2}x$交于$A$，$B$两点（点$A$在点$B$的左侧）.
（1）求$A$，$B$两点的坐标；
（2）设抛物线的顶点为点$C$，连接$AC$、$BC$，试求$\triangle ABC$的面积.

答案：
解：
(1) $ \begin{cases} y = \frac{1}{2}(x - 4)^2 - 1, \\ y = \frac{1}{2}x \end{cases} $
解得 $ \begin{cases} x = 2, \\ y = 1 \end{cases} $ 或 $ \begin{cases} x = 7, \\ y = \frac{7}{2} \end{cases} $
∴ $ A(2, 1) $，$ B\left(7, \frac{7}{2}\right) $；
(2) 如图，过点 $ C $ 作 $ CD // y $ 轴交直线 $ y = \frac{1}{2}x $ 于点 $ D $，
∵ $ y = \frac{1}{2}(x - 4)^2 - 1 $，
∴ 顶点 $ C(4, -1) $，
∵ 当 $ x = 4 $ 时，$ y = \frac{1}{2}x = 2 $
∴ $ D(4, 2) $，
∴ $ CD = 3 $，
∴ $ S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ACD} + S_{\triangle BCD} = \frac{1}{2} × (4 - 2) × 3 + \frac{1}{2} × (7 - 4) × 3 = \frac{15}{2} $。