《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1.公元2025年是我国农历乙已年，属蛇年，春节期间，大小媒体会呈现大量以蛇为主题的文案，金蛇献瑞、蛇舞新春！下列年画图案中，是中心对称图形的是（A）

答案： A

2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（D）

答案： D

3.平面直角坐标系内一点$P(7,-3)$关于原点对称的点的坐标是（C）
A.$(-7,-3)$
B.$(7,3)$
C.$(-7,3)$
D.$(7,-3)$

答案： C

4.如图，$\triangle ABC$与$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$关于点O成中心对称，下列说法：①$∠BAC=∠B_{1}A_{1}C_{1}$；②$AC=A_{1}C_{1}$；③$OA=OA_{1}$；④$\triangle ABC$与$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$的面积相等，其中正确的有（D）

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案： D

5.如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长为1，将$\triangle ABC$绕某点顺时针旋转$90^{\circ}$得到$\triangle DEF$，则旋转中心的坐标是(1,−2).

答案： (1,−2)

6.如图，矩形ABCD中，顶点$A(0,4)$，$B(-2,0)$，$C(-4,1)$，将矩形ABCD绕点O逆时针旋转，每秒旋转$45^{\circ}$，则第100秒旋转结束时，点D的坐标为（）


A.$(-2,5)$
B.$(2,-5)$
C.$(1,-6)$
D.$(-2,-5)$

答案：
B 解析：
∵ 360°÷45° = 8，
∴ 每旋转八次一个循环。
∵ 100÷8 = 12……4，
∴ 第 100 秒旋转结束时点 D 的位置，与第 4 秒旋转结束时点 D 的位置相同。连接 AC 和 BD，

∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ AC 和 BD 互相平分，
∴ 0+(−4)=−2+xD，4 + 1 = 0 + yD，
∴ xD = -2，yD = 5，
∴ 点 D 的坐标为 (2,−5)。又
∵ 45°×4 = 180°，
∴ 第 4 秒旋转结束时的点 D 与点 (2,−5) 关于坐标原点对称，
∴ 此时点 D 的坐标为 (2,−5)。即第 100 秒旋转结束时，点 D 的坐标为 (2,−5)。故选 B。

7.如图，已知$\triangle ABC$的三个顶点的坐标分别为$A(-2,3)$，$B(-3,2)$，$C(-1,1)$.
（1）将$\triangle ABC$关于O点中心对称，试作出对称后的$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$，并写出点$A_{1}$的坐标__________；
（2）计算四边形$ABA_{1}B_{1}$的面积.

答案：
解：
(1) 如图所示，△A₁B₁C₁ 为所求。

由图可知点 A₁ 的坐标 A₁(2,−3)；
(2) 如图所示，
SABA₁B₁ = 6×6 - $\frac{1}{2}$×1×1×2 - $\frac{1}{2}$×5×5×2 = 10。

8.已知两个全等的直角三角形纸片ABC，DEF，如图1放置，点B，D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G，$∠C=∠EFB=90^{\circ}$，$∠E=∠ABC=30^{\circ}$，$AB=DE=4$.
（1）求证：$\triangle EGB$是等腰三角形；
（2）如图2，若纸片DEF不动，$\triangle ABC$绕点F逆时针旋转最小30度时，四边形ACDE成为以ED为底的梯形，求此梯形的高.


(1) 证明：由题意，得 ∠E = ∠ABC = 30°，∠C = ∠EFB = 90°，
∴ ∠EBF = 180° - ∠EFB - ∠E = 180° - 90° - 30° = 60°，
∠EBG = ∠EBF - ∠ABC = 60° - 30° = 30°。
∴ ∠E = ∠EBG，∴ EG = BG。∴ △EGB 是等腰三角形。
(2) 解：在 Rt△ABC 中，∠ABC = 30°，∠C = 90°，AB = 4，
∴ AC = $\frac{1}{2}$AB = 2，
∴ BC = $\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}$ = 2$\sqrt{3}$，
在 Rt△DEF 中，∠EFD = 90°，∠E = 30°，DE = 4，
∴ DF = 2，CF = 2$\sqrt{3}$ - 2。
∵ 四边形 ACDE 是以 ED 为底的梯形，
∴ ED // AC。
∵ ∠ACB = 90°，∴ ED ⊥ CB。
∵ ∠EDF = 60°，
∴ ∠BFD = 90° - ∠EDF = 30°，
∴ F 到 ED 的距离 $\sqrt{2^{2}-(\frac{1}{2}×2)^{2}}$ = $\sqrt{3}$。
则梯形的高为 $\sqrt{2^{2}-(\frac{1}{2}×2)^{2}}$ = $\sqrt{3}$。
故旋转的最小的角度为 30°。

答案：
(1) 证明：由题意，得 ∠E = ∠ABC = 30°，∠C = ∠EFB = 90°，
∴ ∠EBF = 180° - ∠EFB - ∠E = 180° - 90° - 30° = 60°，
∠EBG = ∠EBF - ∠ABC = 60° - 30° = 30°。
∴ ∠E = ∠EBG，
∴ EG = BG。
∴ △EGB 是等腰三角形。
(2) 解：在 Rt△ABC 中，∠ABC = 30°，∠C = 90°，AB = 4，
∴ AC = $\frac{1}{2}$AB = 2，
∴ BC = $\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}$ = 2$\sqrt{3}$，
在 Rt△DEF 中，∠EFD = 90°，∠E = 30°，DE = 4，
∴ DF = 2，CF = 2$\sqrt{3}$ - 2。
∵ 四边形 ACDE 是以 ED 为底的梯形，
∴ ED // AC。
∵ ∠ACB = 90°，
∴ ED ⊥ CB。
∵ ∠EDF = 60°，
∴ ∠BFD = 90° - ∠EDF = 30°，
∴ F 到 ED 的距离 $\sqrt{2^{2}-(\frac{1}{2}×2)^{2}}$ = $\sqrt{3}$。
则梯形的高为 $\sqrt{2^{2}-(\frac{1}{2}×2)^{2}}$ = $\sqrt{3}$。
故旋转的最小的角度为 30°。