《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1. 方程$x^{2}=4$的解是（C）
A. $x=2$
B. $x=-2$
C. $x=\pm 2$
D. 没有实数根

答案： 1. C

2. 若方程$x^{2}=a$有实数根，则$a$的取值范围是（B）
A. $a\leqslant 0$
B. $a\geqslant 0$
C. $a＞0$
D. $a＜0$

答案： 2. B

3. 用直接开方法解下列方程：
（1）$x^{2}=9$；
（2）$(x-3)^{2}=0$；
（3）$2x^{2}=36$；
（4）$2x^{2}+8=0$；
（5）$100(x+1)^{2}=81$；
（6）$(3x+1)^{2}=(4x-7)^{2}$.

答案： 3. 解：
(1) 开方得 $ x^{2} = \pm \sqrt{9} $，
$ x = \pm 3 $，
$ x_{1} = 3 $，$ x_{2} = -3 $；
(2) 开方得 $ x - 3 = 0 $，
$ x_{1} = x_{2} = 3 $；
(3) 二次项系数化为 1，得 $ x^{2} = 18 $，
开方得 $ x = \pm 3\sqrt{2} $，$ x_{1} = -3\sqrt{2} $，$ x_{2} = 3\sqrt{2} $；
(4) 移项得 $ 2x^{2} = -8 $，
$ x^{2} = -4 $，
∵ 实数的平方不能是负数，
∴ 原方程无实数根；
(5) 二次项系数化为 1，得 $ (x + 1)^{2} = \frac{81}{100} $，
开方得 $ x + 1 = \pm \frac{9}{10} $，$ x_{1} = -\frac{1}{10} $，$ x_{2} = -\frac{19}{10} $；
(6) 两边直接开平方，得 $ 3x + 1 = \pm (4x - 7) $，
∴ $ 3x + 1 = 4x - 7 $ 或 $ 3x + 1 = -4x + 7 $，
∴ $ x_{1} = 8 $，$ x_{2} = \frac{6}{7} $。

4.（循环练）若一元二次方程$(1-a)x^{2}+x+1-a^{2}=0$的一个根为0，则$a$的值为（B）
A. 1
B. -1
C. 0
D. $\pm 1$

答案： 4. B

5. 将4个数$a$、$b$、$c$、$d$排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成$\begin{vmatrix} a&b\\ c&d\end{vmatrix}$，定义$\begin{vmatrix} a&b\\ c&d\end{vmatrix} =ad-bc$，上述记号就叫做2阶行列式.$\begin{vmatrix} x+1&x-1\\ 1-x&x+1\end{vmatrix} =6$，则$\sqrt {2}x$的值为（C）
A. 2
B. -2
C. $\pm 2$
D. $\pm 1$

答案： 5. C

6. 若关于$x$的方程$(x+1)^{2}=k-1$没有实数根，则$k$的取值范围是（B）
A. $k\leqslant 1$
B. $k＜1$
C. $k\geqslant 1$
D. $k＞1$

答案： 6. B

7. 已知$x=3$是关于$x$的一元二次方程$x^{2}-3x+c^{2}-25=0$的解，求$c$的值.

答案： 7. 解：将 $ x = 3 $ 代入方程得 $ 3^{2} - 3 × 3 + c^{2} - 25 = 0 $，
$ c^{2} - 25 = 0 $，
移项得 $ c^{2} = 25 $，
开方得 $ c = \pm 5 $。

8.（创新题）关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$的一个根是-1，且$a$，$b$满足$b=\sqrt {a-2}+\sqrt {4-2a}-3$，求关于$y$的方程$\frac {1}{5}y^{2}+c=0$的根.

答案： 8. 解：由题意，得 $ a - 2 \geq 0 $，$ 4 - 2a \geq 0 $，
解得 $ a = 2 $，
∴ $ b = \sqrt{2 - 2} + \sqrt{4 - 2 × 2} - 3 = -3 $，
∵ 关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2} + bx + c = 0 $ 的一个根是 $ -1 $，
∴ $ a - b + c = 0 $，
∴ $ 2 + 3 + c = 0 $，解得 $ c = -5 $。
则关于 $ y $ 的方程为 $ \frac{1}{5}y^{2} - 5 = 0 $，
解得 $ y_{1} = 5 $，$ y_{2} = -5 $。