《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1. 某广场准备修建一个面积为$200m^{2}$的矩形草坪，它的长比宽多2m，设草坪的宽为x m，则可列方程为$x(x + 2) = 200$(不需要化为一般形式)。

答案： $x(x + 2) = 200$

2. 小明用30 cm的铁丝围成一斜边长等于13 cm的直角三角形，则该直角三角形的两直角边长度分别为12cm，5cm。

答案： $12cm$，$5cm$

3. 如图，在长7m，宽5m的矩形地面，沿纵向、横向修建两条相同宽度的道路，余下部分用作花坛，要使花坛的面积为$24m^{2}$，道路的宽应为多少？

答案： 解:设道路的宽应为$xm$，则余下部分可合成长为$(7 - x)m$，宽为$(5 - x)m$的矩形。依题意，得$(7 - x)(5 - x) = 24$，整理，得$x^{2} - 12x + 11 = 0$，解得$x_{1} = 1$，$x_{2} = 11$（不合题意，舍去）。答:道路的宽应为$1m$。

4. 要在长70m，宽40m的长方形花园中，修建宽度相等的观赏路(图中阴影部分所示)，使观赏路面积占总面积的$\frac {1}{8}$，则路宽应满足方程(D)
A. $(40-x)(70-x)=350$
B. $(40-2x)(70-3x)=350$
C. $(40-x)(70-x)=2450$
D. $(40-2x)(70-3x)=2450$

答案： D

5. 在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角DA和DC(两边足够长)，再用20m长的篱笆围成一个面积为$96m^{2}$的矩形花园ABCD，则AB的长为(A)
A. 8m或12m
B. 8m
C. 12m
D. 6m或14m

答案： A

6. 如图，有一矩形空地，一边是墙，墙有20m长，另三边是由一根长34m的铁丝围成的，且与墙平行的一边有一个1m宽的小门。已知矩形空地的面积是$125m^{2}$，求矩形空地的长和宽。

答案： 设矩形空地的平行于墙的边长为$xm$，则垂直墙的边长为$\frac{34 - (x - 1)}{2}m$，由题意得$x\cdot\frac{34 - (x - 1)}{2} = 125$，解得$x_{1} = 25$，$x_{2} = 10$，
∵ 一边是长为$20m$的墙，$20 ＜ 25$，
∴ $x_{1} = 25$不合题意，舍去，
∴ $\frac{34 - (x - 1)}{2} = \frac{25}{2}$。答:矩形空地的长为$\frac{25}{2}m$，宽为$10m$。

7. 如图所示，在边长为12 cm的等边三角形ABC中，点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动。若P，Q分别从A，B两点同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动。经过几秒时$\triangle BPQ$的面积等于$10\sqrt {3}cm^{2}$？

答案：
解:设经过$xs$时$\triangle BPQ$的面积等于$10\sqrt{3}cm^{2}$。
∴ $BQ = 2xcm$，$BP = (12 - x)cm$。如图所示，作 $QD \perp AB$于点$D$，
∴ $\angle QDB = 90^{\circ}$，
∴ $\angle DQB = 30^{\circ}$，
∴ $DB = \frac{1}{2}BQ = xcm$，在$Rt\triangle DBQ$中，由勾股定理，得$DQ = \sqrt{BQ^{2} - DB^{2}} = \sqrt{(2x)^{2} - x^{2}} = \sqrt{3}xcm$，根据题意，得$\frac{\sqrt{3}x(12 - x)}{2} = 10\sqrt{3}$，解得$x_{1} = 10$，$x_{2} = 2$，
∵ $x = 10$时，$2x ＞ 12$，故舍去，
∴ $x = 2$。答:经过$2s$时$\triangle BPQ$的面积等于$10\sqrt{3}cm^{2}$。