《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1. 若关于x的一元二次方程$(k-1)x^{2}+4x+1=0$有两个不相等的实数根,则k的取值范围是(D)
A. $k＜5$
B. $k＞5$
C. $k＞5$且$k≠1$
D. $k＜5$且$k≠1$

答案： D

2. 把$x^{2}-5x=31$配方,需在方程的两边都加上(D)
A. 5
B. 25
C. 2.5
D. $\frac {25}{4}$

答案： D

3. 关于x的一元二次方程$x^{2}+a^{2}-1=0$的一个根是$x=0$,则a的值为(C)
A. -1
B. 1
C. 1或-1
D. 3

答案： C

4. 设α,β是方程$x^{2}+x-2025=0$的两个实数根,$α^{2}+2α+β$的值是2024.

答案： 2024

5. 解方程:
(1)$(2x+1)^{2}-4=0;$
(2)$x^{2}-4x-3=0;$
(3)$x(2x-5)=2(2x-5);$
(4)$3x^{2}-6x-2=0.$

答案： 解:
(1)(2x + 1)² - 4 = 0
(2x + 1)² = 4
则 2x + 1 = 2 或 2x + 1 = -2，
解得 x₁ = $\frac{1}{2}$，x₂ = -$\frac{3}{2}$；
(2)x² - 4x = 3
则 x² - 4x + 4 = 3 + 4，即(x - 2)² = 7，
x - 2 = ±$\sqrt{7}$，
解得 x₁ = 2 + $\sqrt{7}$，x₂ = 2 - $\sqrt{7}$；
(3)x(2x - 5) = 2(2x - 5)，
x(2x - 5) - 2(2x - 5) = 0，
(2x - 5)(x - 2) = 0，
解得 x₁ = $\frac{5}{2}$，x₂ = 2；
(4)
∵ a = 3，b = -6，c = -2，
∴ b² - 4ac = (-6)² - 4×3×(-2) = 60＞0，
∴ x = $\frac{6 ± \sqrt{60}}{2×3}$ = $\frac{3 ± \sqrt{15}}{3}$，即 x₁ = $\frac{3 + \sqrt{15}}{3}$，x₂ = $\frac{3 - \sqrt{15}}{3}$。

6. 对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0(a≠0)$,下列说法:
①若$a+b+c=0$,则$b^{2}-4ac=0;$
②若方程$ax^{2}+c=0$有两个不相等的实根,则方程$ax^{2}+bx+c=0$必有两个不相等的实根;
③若c是方程$ax^{2}+bx+c=0$的一个根,则一定有$ac+b+1=0$成立;
④若$x_{0}$是一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$的根,则$b^{2}-4ac=(2ax_{0}+b)^{2}.$
其中正确的是(A)
A. ①②④
B. ①②③
C. ①③④
D. ②③④

答案： A 解析:①当 x = 1 时，a×1² + b×1 + c = a + b + c = 0，那么一元二次方程 ax² + bx + c = 0(a≠0)有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根，此时 b² - 4ac≥0 成立，那么①一定正确。②方程 ax² + c = 0 有两个不相等的实根，则 -4ac＞0，那么 b² - 4ac＞0，故方程 ax² + bx + c = 0 (a≠0)必有两个不相等的实根，进而推断出②正确。③由 c 是方程 ax² + bx + c = 0 的一个根，得 ac² + bc + c = 0。当 c≠0，则 ac + b + 1 = 0；当 c = 0，则 ac + b + 1 不一定等于 0，那么③不一定正确。④(2ax₀ + b)² = 4a²x₀² + b² + 4abx₀，由 b² - 4ac = 4a²x₀² + b² + 4abx₀，得 ax₀² + bx₀ + c = 0。由 x₀ 是一元二次方程 ax² + bx + c = 0 的根，则 ax₀² + bx₀ + c = 0 成立，那么④正确。
综上:正确的有①②④。故选 A。

7. 如图,在矩形OABC纸片中,$OA=7,OC=5$,D为BC边上动点,将$△OCD$沿OD折叠,当点C的对应点落在直线AF上时,记为点E,若此时连接CE,同时$OA=OF$,则$△OCE$面积为____.

答案：
$\frac{15}{2}$ 或 10 解析:如图，作 EM⊥OF 于 M。设 EM = x。

∵ 四边形 OABC 是矩形，
∴ ∠AOC = 90°，
∵ OA = OF = 7，
∴ ∠F = ∠FAO = 45°，
∵ ∠FME = ∠FOA = 90°，
∴ ∠FEM = 45° = ∠F，
∴ ME = MF = x，OM = 7 - x，在 Rt△OEM 中，
∵ OM² + EM² = OE²，
∴ x² + (7 - x)² = 5²，解得 x = 3 或 4，
∴ S△COE = $\frac{1}{2}$×5×3 = $\frac{15}{2}$ 或 S△COE = $\frac{1}{2}$×5×4 = 10。

8. 某牧场准备利用现成的一堵“7”字形的墙面(粗线A-B-C表示墙面)建饲养场,已知$AB⊥BC,AB=3$米,$BC=15$米,现计划用总长为38米的篱笆围建一个“日”字形的饲养场BDEF,并在每个区域开一个宽2米的门,如图(细线表示篱笆,饲养场中间用篱笆GH隔开),点F可能在线段BC上,也可能在线段BC的延长线上.
(1)如图,当点F在线段BC上时,
①设EF的长为x米,则$DE=$(45 - 3x)米;(用含x的代数式表示)
②若围成的饲养场BDEF的面积为132平方米,求饲养场的宽EF的长;
解:(1)②依题意得 x(45 - 3x) = 132，
整理得 x² - 15x + 44 = 0，
解得 x₁ = 4，x₂ = 11。
当 x = 4 时，45 - 3x = 45 - 3×4 = 33＞15，不合题意，舍去；
当 x = 11 时，45 - 3x = 45 - 3×11 = 12＜15，符合题意。
答:饲养场的宽 EF 的长为 11 米；
(2)如图当点F在线段BC延长线上,所围成的饲养场BDEF的面积能否为156平方米?如果能达到,求出EF的长;如果不能,请说明理由.
(2)不能达到，理由如下:
设 EF 的长为 y 米，则 DE = $\frac{38 + 15 + 2 + 2 - (3y - 3)}{2}$ = $\frac{60 - 3y}{2}$(米)，
依题意得 y·$\frac{60 - 3y}{2}$ = 156，
整理得 y² - 20y + 104 = 0，
∵ Δ = (-20)² - 4×1×104 = -16＜0，该方程没有实数根，
即当点 F 在线段 BC 延长线上，所围成的饲养场 BDEF 的面积不能达到 156 平方米。

答案：
(1)①(45 - 3x)
解:
(1)②依题意得 x(45 - 3x) = 132，
整理得 x² - 15x + 44 = 0，
解得 x₁ = 4，x₂ = 11。
当 x = 4 时，45 - 3x = 45 - 3×4 = 33＞15，不合题意，舍去；
当 x = 11 时，45 - 3x = 45 - 3×11 = 12＜15，符合题意。
答:饲养场的宽 EF 的长为 11 米；
(2)不能达到，理由如下:
设 EF 的长为 y 米，则 DE = $\frac{38 + 15 + 2 + 2 - (3y - 3)}{2}$ = $\frac{60 - 3y}{2}$(米)，
依题意得 y·$\frac{60 - 3y}{2}$ = 156，
整理得 y² - 20y + 104 = 0，
∵ Δ = (-20)² - 4×1×104 = -16＜0，该方程没有实数根，
即当点 F 在线段 BC 延长线上，所围成的饲养场 BDEF 的面积不能达到 156 平方米。