《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1.如图，OA是⊙O的半径，∠B=20°，∠AOB=70°。求证：AB是⊙O的切线。

答案： 证明：在$\triangle AOB$中，
$\angle BAO = 180^{\circ} - \angle AOB - \angle B$.
$\because \angle B = 20^{\circ}, \angle AOB = 70^{\circ}$，
$\therefore \angle BAO = 180^{\circ} - 70^{\circ} - 20^{\circ} = 90^{\circ}$，
$\because$ 点$A$在$\odot O$上，
$\therefore AB$是$\odot O$的切线.

2.如图，AB是⊙O的直径，点C为⌢AB的中点，延长AC到点D，使CD=AC，连接BD。
(1)求∠A的度数；
(2)求证：BD与⊙O相切。

答案：

(1) 解：如图，连接$OC$，

$\because AB$是$\odot O$的直径，点$C$为$\overparen{AB}$的中点，
$\therefore \angle BOC = 90^{\circ}$，
$\because \angle A = \frac{1}{2}\angle BOC$，
$\therefore \angle A = 45^{\circ}$；
(2) 证明：$\because OA = OB, AC = CD$，
$\therefore OC // BD$，
$\therefore \angle BOC + \angle ABD = 180^{\circ}$，
$\therefore \angle B = 180^{\circ} - \angle BOC = 90^{\circ}$，
$\because$ 点$B$在$\odot O$上，
$\therefore BD$与$\odot O$相切.

3.如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，AB为大圆的弦，且AB=2√3，大圆的半径为2，小圆的半径为1。求证：AB为小圆的切线。

答案：
证明：如图，过点$O$作$OC \perp AB$，垂足为$C$.

$\because AB = 2\sqrt{3}$，大圆的半径为$2$，
$\therefore AC = BC = \frac{1}{2}AB = \sqrt{3}, OA = 2$，
在$Rt\triangle AOC$中，由勾股定理，得
$OC = \sqrt{OA^{2} - AC^{2}} = \sqrt{2^{2} - (\sqrt{3})^{2}} = 1$.
$\because$ 小圆的半径为$1$，
$\therefore OC$为小圆的半径，
又$\because OC \perp AB$，
$\therefore AB$为小圆的切线.

4.如图，AB是⊙O的直径，点C，D为半圆O的三等分点，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E。
(1)求证：CE是⊙O的切线；
(2)判断四边形AOCD是否为菱形。

答案：

(1) 证明：如图，连接$OD$.

$\because C, D$为半圆$O$的三等分点，
$\therefore \angle BOC = \frac{1}{2}\angle BOD$，
又$\because \angle BAD = \frac{1}{2}\angle BOD$，
$\therefore \angle BOC = \angle BAD$，
$\therefore AE // OC$，
$\because AE \perp EC$，
$\therefore OC \perp EC$，
$\therefore CE$是$\odot O$的切线；
(2) 解：四边形$AOCD$是菱形. 理由如下：
$\because$ 点$C, D$为半圆$O$的三等分点，
$\therefore \angle AOD = \angle COD = 60^{\circ}$，
$\because OA = OD = OC$，
$\therefore \triangle AOD$和$\triangle COD$都是等边三角形，
$\therefore OA = AD = DC = OC = OD$，
$\therefore$ 四边形$AOCD$是菱形.

5.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，⊙O是△ABC的外接圆，P为CO延长线上的一点，且AP=AC。
(1)求证：PA是⊙O的切线；
(2)若PB是⊙O的切线，求证：△ABC是等边三角形。

答案：
证明：
(1) 如图，连接$OA$.

$\because \angle ABC = 60^{\circ}, \therefore \angle AOC = 120^{\circ}$.
$\because OA = OC$，
$\therefore \angle OAC = \angle OCA = \frac{1}{2}(180^{\circ} - \angle AOC) = \frac{1}{2} × (180^{\circ} - 120^{\circ}) = 30^{\circ}$，
$\because AP = AC, \therefore \angle APC = \angle ACP = 30^{\circ}$，
$\therefore \angle PAC = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 30^{\circ} = 120^{\circ}$，
$\therefore \angle PAO = \angle PAC - \angle OAC = 120^{\circ} - 30^{\circ} = 90^{\circ}$，
$\therefore AP \perp OA$，
又$\because OA$是$\odot O$的半径，
$\therefore AP$是$\odot O$的切线；
(2) 如图，连接$OB$.
$\because AP, PB$为$\odot O$的切线，
可证$\triangle AOP \cong \triangle BOP$
$\therefore PA = PB$，
$\because OA = OB$，
$\therefore PO$是$AB$的垂直平分线，
$\therefore CB = CA$，
又$\because \angle ABC = 60^{\circ}$，
$\therefore \triangle ABC$是等边三角形.