《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1. 抛物线$y=-x^{2}-1$的顶点坐标为 (C)
A. $(1,0)$
B. $(-1,0)$
C. $(0,-1)$
D. $(2,3)$

答案： C

2. 已知抛物线$y=a(x-2)^{2}+k(a＞0,a,k$为常数),$A(-3,y_{1}),B(3,y_{2}),C(4,y_{3})$是抛物线上三点,则$y_{1},y_{2},y_{3}$由小到大依次排列为 (C)
A. $y_{1}＜y_{2}＜y_{3}$
B. $y_{2}＜y_{1}＜y_{3}$
C. $y_{2}＜y_{3}＜y_{1}$
D. $y_{3}＜y_{2}＜y_{1}$

答案： C

3. 若二次函数$y=mx^{2}+x+m(m-2)$的图象经过原点,则m的值为 (A)
A. 2
B. 1
C. 0或2
D. 1或2

答案： A

4. 把抛物线$y=-3x^{2}$向左平移1个单位长度,再向上平移6个单位长度,所得抛物线的函数关系式是 (C)
A. $y=-3(x-1)^{2}+6$
B. $y=-3(x-1)^{2}-6$
C. $y=-3(x+1)^{2}+6$
D. $y=-3(x+1)^{2}-6$

答案： C

5. 如图所示的二次函数$y=ax^{2}+bx+c$的图象中,刘同学观察得出了下面四条信息:①$b^{2}-4ac＞0$;②$c＞1$;③$b＜0$;④$a+b+c＜0$.你认为其中错误的有 (D)
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 1个

答案： D

6. (2025·湛江阶段练习)如图,抛物线$y=\frac {1}{6}x^{2}-\frac {4}{3}x+4$与直线$y=kx+\frac {4}{3}$交于点A,B,点C为线段AB的中点,点C的横坐标为5,则k的值为$\frac{1}{3}$.

答案： $\frac{1}{3}$

7. 已知函数$y=mx^{2}+3mx+m-1$的图象与坐标轴恰有两个公共点,则实数m的值为1 或 $-\frac{4}{5}$.

答案： 1 或 $-\frac{4}{5}$ 解析：当函数图象过原点时，函数 $y = mx^2 + 3mx + m - 1$ 的图象与坐标轴恰有两个公共点，此时满足 $m - 1 = 0$，解得 $m = 1$；当函数图象与 $x$ 轴只有一个交点且与坐标轴 $y$ 轴也有一个交点时，此时满足 $\Delta = (3m)^2 - 4m(m - 1) = 0$，解得 $m = 0$ 或 $m = -\frac{4}{5}$，当 $m = 0$ 时，函数变为 $y = -1$ 与 $y$ 轴只有一个交点，不合题意；综上可得，$m = 1$ 或 $m = -\frac{4}{5}$ 时，函数图象与坐标轴恰有两个公共点。

8. 如图所示,要建一个长方形的养鸡场,养鸡场的一边靠墙(墙长38m),如果用60m长的篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡场,设养鸡场的长为x m,当$x=$30m时,养鸡场的面积最大.

答案： 30

9. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y=ax^{2}+bx+c$与x轴交于$A(-1,0),B(3,0)$两点,交y轴于点C,且$OC=3$.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)点P为直线BC下方抛物线上的一点,连接AC、BC、CP、BP,求四边形PCAB的面积的最大值,以及此时点P的坐标;

答案：
解：
(1) $\because OC = 3$，
$\therefore C(0, -3)$，
将点 $A(-1, 0)$，$B(3, 0)$，$C(0, -3)$ 代入 $y = ax^2 + bx + c$，
得 $\begin{cases}a - b - c = 0, \\ 9a + 3b + c = 0, \\ c = -3,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a = 1, \\ b = -2, \\ c = -3,\end{cases}$
$\therefore y = x^2 - 2x - 3$；
(2) 解：$\because S_{四边形PCAB} = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle PBC}$，
$\therefore$ 当 $S_{\triangle PBC}$ 面积最大时，$S_{四边形PCAB}$ 的面积最大，
设直线 $BC$ 的解析式为 $y = kx + b$，
$\therefore \begin{cases}3k + b = 0, \\ b = -3,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k = 1, \\ b = -3,\end{cases}$
$\therefore y = x - 3$，
过点 $P$ 作 $PQ \perp x$ 轴交 $BC$ 于点 $Q$，

设 $P(t, t^2 - 2t - 3)$，则 $Q(t, t - 3)$，
$\therefore$ 当 $PQ$ 最大时，$S_{\triangle PBC}$ 面积最大，
$\therefore PQ = t - 3 - t^2 + 2t + 3 = -t^2 + 3t = -\left(t - \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{9}{4}$，
$\because -1 ＜ 0$，$0 ＜ t ＜ 3$，
当 $t = \frac{3}{2}$ 时，$PQ$ 取最大值 $\frac{9}{4}$，
$\therefore P\left(\frac{3}{2}, -\frac{15}{4}\right)$
$\because A(-1, 0)$，$B(3, 0)$，$C(0, -3)$，
$\therefore AB = 4$，
$\therefore S_{四边形PCAB} = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle PBC} = \frac{1}{2} × 4 × 3 + \frac{1}{2} × \frac{9}{4} × 3 = \frac{75}{8}$。