《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1.用公式法求二次函数$y=-2x^{2}+4x-1$的图象的顶点坐标.

答案： 解：$\because a = - 2$，$b = 4$，$c = - 1$，
$\therefore - \frac{b}{2a} = - \frac{4}{2 × ( - 2)} = 1$，
$\frac{4ac - b^{2}}{4a} = \frac{4 × ( - 2) × ( - 1) - 4^{2}}{4 × ( - 2)} = 1$，
$\therefore$ 顶点坐标为 $(1,1)$。

2.用公式法求抛物线$y=4x^{2}-2x+1$的对称轴和顶点坐标.

答案： 解：$\because a = 4$，$b = - 2$，$c = 1$，
$\therefore - \frac{b}{2a} = - \frac{ - 2}{2 × 4} = \frac{1}{4}$，
$\frac{4ac - b^{2}}{4a} = \frac{4 × 4 × 1 - ( - 2)^{2}}{4 × 4} = \frac{3}{4}$，
$\therefore$ 对称轴为 $x = \frac{1}{4}$，顶点坐标为 $(\frac{1}{4},\frac{3}{4})$。

3.(循环练)已知二次函数$y=2x^{2}-4x+5$,当函数值y随x的增大而增大时,x的取值范围是(B)
A.$x＜1$
B.$x＞1$
C.$x＜2$
D.$x＞2$

答案： B

4.抛物线$y=x^{2}+bx+1$的对称轴是直线$x=-3$,则b的值是(C)
A.4
B.5
C.6
D.7

答案： C

5.二次函数$y=-x^{2}+2x+4$的最大值为5.

答案： 5

6.(循环练)用适当的方法解下列方程:
(1)$x^{2}-\sqrt {3}x=0$; (2)$2x^{2}+x=\frac {3}{8}$.

答案： 解：
(1) 因式分解，得 $x(x - \sqrt{3}) = 0$，
$x_{1} = 0$，$x_{2} = \sqrt{3}$；
(2) 方程化为 $2x^{2} + x - \frac{3}{8} = 0$，
$\because a = 2$，$b = 1$，$c = - \frac{3}{8}$，
$\therefore \Delta = b^{2} - 4ac = 1 - 4 × 2 × ( - \frac{3}{8}) = 4 ＞ 0$，
$\therefore x = \frac{ - b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a} = \frac{ - 1 \pm \sqrt{4}}{2 × 2}$，
即 $x_{1} = \frac{1}{4}$，$x_{2} = - \frac{3}{4}$。

7.已知抛物线$y=x^{2}+4mx+4$的对称轴为直线$x=3$,求m的值.

答案： 解：$\because y = x^{2} + 4mx + 4$ 的对称轴为直线 $x = 3$，
$\therefore - \frac{b}{2a} = - \frac{4m}{2 × 1} = 3$。
$\therefore m = - \frac{3}{2}$。

8.已知抛物线$y=ax^{2}-4ax-5(a≠0)$.
(1)抛物线的对称轴是直线$x = 2$;
(2)当$a=-1$时,将该抛物线图象沿x轴翻折,得到新的抛物线的解析式是$y = x^{2} - 4x + 5$;
(3)若抛物线的顶点在x轴上,求a的值.
解：$\because$ 顶点在 $x$ 轴上，
$\therefore \frac{4ac - b^{2}}{4a} = 0$，
即 $\frac{4a × ( - 5) - 16a^{2}}{4a} = 0$，
$\therefore - 5 - 4a = 0$，$a = - \frac{5}{4}$。

答案：
(1) $x = 2$
(2) $y = x^{2} - 4x + 5$
(3) 解：$\because$ 顶点在 $x$ 轴上，
$\therefore \frac{4ac - b^{2}}{4a} = 0$，
即 $\frac{4a × ( - 5) - 16a^{2}}{4a} = 0$，
$\therefore - 5 - 4a = 0$，$a = - \frac{5}{4}$。

9.已知抛物线$y=2x^{2}+4mx+2m^{2}-1$的顶点在直线$y=2x-3$上,求m的值.

答案： 解：$\because a = 2$，$b = 4m$，$c = 2m^{2} - 1$，
$\therefore - \frac{b}{2a} = - \frac{4m}{2 × 2} = - m$，
$\frac{4ac - b^{2}}{4a} = \frac{4 × 2 × (2m^{2} - 1) - (4m)^{2}}{4 × 2} = - 1$。
$\therefore$ 该抛物线的顶点坐标为 $( - m, - 1)$。
$\because$ 抛物线的顶点在直线 $y = 2x - 3$ 上，
$\therefore - 1 = 2 × ( - m) - 3$。