《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1. 方程$x^{2}=x$的解是（B）
A. $x_{1}=1,x_{2}=-1$
B. $x_{1}=1,x_{2}=0$
C. $x_{1}=0,x_{2}=-1$
D. $x_{1}=3,x_{2}=-1$

答案： B

2. 一元二次方程$(x-1)(x-2)=0$的根是$ x_{1}=1 $，$ x_{2}=2 $。

答案： $ x_{1}=1 $，$ x_{2}=2 $

3. 用因式分解法解下列方程：
(1)$6x^{2}-3x=0$；
(2)$x(x-2)=3(x-2)$；
(3)$(x+1)^{2}=2(x+1)$；

答案： 解：
(1) 因式分解得 $ 3x(2x - 1) = 0 $，
解得 $ 3x = 0 $ 或 $ 2x - 1 = 0 $，
$ x_{1}=0 $，$ x_{2}=\frac{1}{2} $；
(2) 移项，得 $ x(x - 2) - 3(x - 2) = 0 $，
因式分解，得 $ (x - 3)(x - 2) = 0 $，
解得 $ x - 3 = 0 $ 或 $ x - 2 = 0 $，
$ x_{1}=3 $，$ x_{2}=2 $；
(3) 移项，得 $ (x + 1)^{2} - 2(x + 1) = 0 $，
因式分解，得 $ (x + 1)(x + 1 - 2) = 0 $，
解得 $ x + 1 = 0 $ 或 $ x - 1 = 0 $
$ x_{1}=1 $，$ x_{2}=-1 $。

4. 解方程：
(1)$(y+1)(y-2)=-2$；
(2)$(x-3)^{2}+x^{2}=9$。

答案： 解：
(1) 整理，得 $ y^{2} - y = 0 $，
因式分解，得 $ y(y - 1) = 0 $，
$ y_{1}=0 $，$ y_{2}=1 $；
(2) 去括号，得 $ x^{2} + 9 - 6x + x^{2} = 9 $，
合并同类项，得 $ 2x^{2} - 6x = 0 $，
整理，得 $ x^{2} - 3x = 0 $，
因式分解，得 $ x(x - 3) = 0 $，
$ x_{1}=0 $，$ x_{2}=3 $。

5. 分式$\frac {x^{2}+3x}{x}$的值为0，则x的值为（B）
A. 0
B. -3
C. 3
D. 0或-3

答案： B

6. 若三角形两边长分别为3和4，第三边的长是方程$x^{2}-5x=7(x-5)$的根，则此三角形的周长为（A）
A. 12
B. 14
C. 12或14
D. 13或15

答案： A 解析：整理方程得 $ (x - 7)(x - 5) = 0 $，化简得 $ x_{1}=5 $，$ x_{2}=7 $，三角形两边长分别为 3 和 4，
∴ 取 $ x = 5 $，此时三角形周长等于 12。故选 A。

7. 阅读下列材料：
解方程：$x^{4}-6x^{2}+5=0$。这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设$x^{2}=y$，那么$x^{4}=y^{2}$，
于是原方程可变形为$y^{2}-6y+5=0$，
解得$y_{1}=1,y_{2}=5$，
当$y=1$时，$x^{2}=1$，$\therefore x=\pm 1$；
当$y=5$时，$x^{2}=5$，$\therefore x=\pm \sqrt {5}$；
所以原方程有四个根：$x_{1}=1,x_{2}=-1,x_{3}=\sqrt {5},x_{4}=-\sqrt {5}$。
在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想。
解方程$(x^{2}-x)^{2}+4(x^{2}-x)-12=0$时，若设$y=x^{2}-x$，则原方程可转化为$y^{2}+4y-12=0$，并求出x。

答案： 解：$ (x^{2} - x)^{2} + 4(x^{2} - x) - 12 = 0 $，设 $ y = x^{2} - x $，
∴ 原方程变形为 $ y^{2} + 4y - 12 = 0 $，
解得 $ y_{1}=2 $，$ y_{2}=-6 $，
当 $ y = 2 $ 时，$ x^{2} - x = 2 $，即 $ x^{2} - x - 2 = 0 $，
∴ $ (x + 1)(x - 2) = 0 $，
∴ $ x_{1}=-1 $，$ x_{2}=2 $，
当 $ y = -6 $ 时，$ x^{2} - x = 6 $，即 $ x^{2} - x + 6 = 0 $，
∵ $ \Delta = (1)^{2} - 4×1×6 ＜ 0 $，方程无解，
∴ 原方程有两个解：$ x_{1}=-1 $，$ x_{2}=2 $。