《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1. 用公式法解一元二次方程$3x^{2}+3=-2x$时，首先要确定$a$、$b$、$c$的值，下列叙述正确的是（A）
A. $a=3$，$b=2$，$c=3$
B. $a=-3$，$b=2$，$c=3$
C. $a=3$，$b=2$，$c=-3$
D. $a=3$，$b=-2$，$c=3$

答案： A

2. 若关于$x$的一元二次方程$x^{2}+x-k=0$有两个实数根，则$k$的取值范围是（B）
A. $k＞-\frac{1}{4}$
B. $k\geqslant -\frac{1}{4}$
C. $k＜-\frac{1}{4}$
D. $k\leqslant -\frac{1}{4}$

答案： B

3. 若一元二次方程$2x^{2}-4x+m=0$有两个相等的实数根，则$m=$2。

答案： 2

4. 方程$x^{2}-x-1=0$的根是（B）
A. $x_{1}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，$x_{2}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$
B. $x_{1}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，$x_{2}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$
C. $x_{1}=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，$x_{2}=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$
D. 没有实数根

答案： B

5. 用公式法解方程：
（1）$x^{2}-3x+2=0$；
（2）$x^{2}+5x=-6$；
（3）$3x^{2}-2x+1=0$；
（4）$9x^{2}-12x+4=0$。

答案： 解：
(1) $ a = 1 $，$ b = - 3 $，$ c = 2 $，
$ \because \Delta = b ^ { 2 } - 4 a c = ( - 3 ) ^ { 2 } - 4 × 1 × 2 = 1 ＞ 0 $，
$ \therefore $ 方程有两个不相等的实数根，
$ x = \frac { - b \pm \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } { 2 a } = \frac { - ( - 3 ) \pm 1 } { 2 × 1 } = \frac { 3 \pm 1 } { 2 } $，
即 $ x _ { 1 } = 1 $，$ x _ { 2 } = 2 $；
(2) 移项得 $ x ^ { 2 } + 5 x + 6 = 0 $，
$ a = 1 $，$ b = 5 $，$ c = 6 $，
$ \because \Delta = b ^ { 2 } - 4 a c = 5 ^ { 2 } - 4 × 1 × 6 = 1 ＞ 0 $，
$ \therefore $ 方程有两个不相等的实数根，
$ x = \frac { - b \pm \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } { 2 a } = \frac { - 5 \pm 1 } { 2 × 1 } $，
即 $ x _ { 1 } = - 2 $，$ x _ { 2 } = - 3 $；
(3) $ a = 3 $，$ b = - 2 $，$ c = 1 $，
$ \because \Delta = b ^ { 2 } - 4 a c = ( - 2 ) ^ { 2 } - 4 × 3 × 1 = - 8 ＜ 0 $，
$ \therefore $ 此方程无解；
(4) $ a = 9 $，$ b = - 12 $，$ c = 4 $，
$ \because \Delta = b ^ { 2 } - 4 a c = ( - 12 ) ^ { 2 } - 4 × 9 × 4 = 0 $，
$ \therefore $ 方程有两个相等的实数根，
$ x _ { 1 } = x _ { 2 } = - \frac { b } { 2 a } = - \frac { - 12 } { 2 × 9 } = \frac { 2 } { 3 } $。

6. 用公式法解方程：$x(3x-4\sqrt{3})+2=0$。

答案： 解：去括号得 $ 3 x ^ { 2 } - 4 \sqrt { 3 } x + 2 = 0 $，
$ a = 3 $，$ b = - 4 \sqrt { 3 } $，$ c = 2 $，
$ \because \Delta = b ^ { 2 } - 4 a c = ( - 4 \sqrt { 3 } ) ^ { 2 } - 4 × 3 × 2 = 24 ＞ 0 $，
$ \therefore $ 方程有两个不相等的实数根，
$ x = \frac { - b \pm \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } { 2 a } = \frac { 4 \sqrt { 3 } \pm \sqrt { 24 } } { 2 × 3 } = \frac { 2 \sqrt { 3 } \pm \sqrt { 6 } } { 3 } $，
即 $ x _ { 1 } = \frac { 2 \sqrt { 3 } + \sqrt { 6 } } { 3 } $，$ x _ { 2 } = \frac { 2 \sqrt { 3 } - \sqrt { 6 } } { 3 } $。

7. 一个菱形的边长是方程$x^{2}-8x+15=0$的一个根，其中一条对角线长为8，则该菱形的面积为（B）
A. 48
B. 24
C. 24或40
D. 48或80

答案： B

8. 已知：关于$x$的一元二次方程$x^{2}-(2m+3)x+m^{2}+3m+2=0$，
（1）已知$x=2$是方程的一个根，求$m$的值；
（2）以这个方程的两个实数根作为$\triangle ABC$中$AB$、$AC(AB＜AC)$的边长，当$BC=\sqrt{5}$时，$\triangle ABC$是直角三角形，求此时$m$的值。

答案： 解：
(1) $ \because x = 2 $ 是方程的一个根，
$ \therefore 4 - 2 ( 2 m + 3 ) + m ^ { 2 } + 3 m + 2 = 0 $，
$ \therefore m = 0 $ 或 $ m = 1 $；
(2) $ \because \Delta = [ - ( 2 m + 3 ) ] ^ { 2 } - 4 ( m ^ { 2 } + 3 m + 2 ) = 1 $，
$ \therefore x = \frac { 2 m + 3 \pm 1 } { 2 } $，
解得 $ x _ { 1 } = m + 2 $，$ x _ { 2 } = m + 1 $，
$ \because AB $、$ AC ( A B ＜ A C ) $ 的边长是这个方程的两个实数根，
$ \therefore A C = m + 2 ＞ 0 $，$ A B = m + 1 ＞ 0 $，
$ \therefore m ＞ - 1 $，
$ \because B C = \sqrt { 5 } $，$ \triangle A B C $ 是直角三角形，
$ \therefore $ 当 $ B C $ 为斜边时，有 $ ( m + 2 ) ^ { 2 } + ( m + 1 ) ^ { 2 } = ( \sqrt { 5 } ) ^ { 2 } $，
解得 $ m _ { 1 } = - 3 $（舍去），$ m _ { 2 } = 0 $；
当 $ A C $ 为斜边时，有 $ ( \sqrt { 5 } ) ^ { 2 } + ( m + 1 ) ^ { 2 } = ( m + 2 ) ^ { 2 } $，
解得 $ m = 1 $，
综上所述，当 $ m = 0 $ 或 $ m = 1 $ 时，$ \triangle A B C $ 是直角三角形。