《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1.在某篮球邀请赛中,参赛的每两个队之间都要比赛一场,共比赛36场.设有x个队参赛,根据题意,可列方程为 (A)
A.$\frac {1}{2}x(x-1)=36$
B.$\frac {1}{2}x(x+1)=36$
C.$x(x-1)=36$
D.$x(x+1)=36$

答案： A

2.某小组成员之间互相赠送一张新年贺卡,若全组共送出72张贺卡,则这个小组有(C)
A.12人
B.18人
C.9人
D.10人

答案： C

3.某航空公司有若干个飞机场,每两个飞机场之间都开辟了一条航线.若共有28条航线,则这个航空公司共有多少个飞机场?

答案： 解:设这个航空公司共有 x 个飞机场.
由题意,得 $\frac{1}{2}x(x - 1) = 28$.
解得 $x_1 = 8$, $x_2 = -7$ (不合题意,舍去).
答:这个航空公司共有 8 个飞机场.

4.某学习小组的学生相互之间都加了微信,新年到了,这个学习小组通过微信互发祝福.若每名学生都给组内同学发一条,最后共发出了42条祝福,请问这个学习小组有多少名学生?每名学生收到多少条组内同学发来的祝福?

答案： 解:设这个学习小组有 x 名学生,则每名学生收到 $(x - 1)$ 条组内同学发来的祝福,

5.m条直线两两相交,最多有10个交点,则可列方程为 (C)
A.$2m=10$
B.$m+(m-1)=10$
C.$\frac {m(m-1)}{2}=10$
D.$m(m-1)=10$

答案： C

6.某中学组织九年级学生进行篮球比赛,以班级为单位,每两个班之间都比赛三场,计划安排45场比赛,则共有6个班参赛.

答案： $6$

7.已知凸n边形$(n＞3).$
(1)经过凸n边形某个顶点的对角线有$n - 3$条;
(2)若该凸n边形共有20条对角线,则它是几边形?
八边形
(3)该凸n边形可能有18条对角线吗?如果可能,它是几边形?如果不可能,说明理由.
不可能，理由：假设该凸$n$边形有$18$条对角线，得到方程$n^{2}-3n - 36 = 0$，其解$n=\frac{3\pm3\sqrt{17}}{2}$不是正整数，所以该凸$n$边形不可能有$18$条对角线。

答案： 【解析】：
1. 首先求经过凸$n$边形某个顶点的对角线的条数：
对于凸$n$边形的一个顶点，不能和它自身以及与它相邻的两个顶点连成对角线。
所以经过凸$n$边形某个顶点的对角线有$(n - 3)$条。
2. 然后根据对角线公式求边数$n$：
凸$n$边形对角线的总条数公式为$\frac{n(n - 3)}{2}$。
（2）已知该凸$n$边形共有$20$条对角线，则$\frac{n(n - 3)}{2}=20$。
方程两边同时乘以$2$得：$n(n - 3)=40$。
展开式子得$n^{2}-3n - 40 = 0$。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$（这里$a = 1$，$b=-3$，$c = - 40$），根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，先计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-3)^{2}-4×1×(-40)=9 + 160 = 169$。
则$n=\frac{3\pm\sqrt{169}}{2}=\frac{3\pm13}{2}$。
解得$n_{1}=\frac{3 + 13}{2}=8$，$n_{2}=\frac{3-13}{2}=-5$（边数$n\gt3$且$n$为正整数，舍去）。
（3）假设该凸$n$边形有$18$条对角线，则$\frac{n(n - 3)}{2}=18$。
方程两边同时乘以$2$得：$n(n - 3)=36$。
展开式子得$n^{2}-3n - 36 = 0$。
对于一元二次方程$n^{2}-3n - 36 = 0$，其中$a = 1$，$b=-3$，$c = - 36$，判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-3)^{2}-4×1×(-36)=9 + 144 = 153$。
根据求根公式$n=\frac{3\pm\sqrt{153}}{2}=\frac{3\pm3\sqrt{17}}{2}$。
因为$n$为正整数，而$\frac{3\pm3\sqrt{17}}{2}$不是正整数，所以该凸$n$边形不可能有$18$条对角线。
【答案】：（1）$n - 3$；（2）八边形；（3）不可能，理由：假设该凸$n$边形有$18$条对角线，得到方程$n^{2}-3n - 36 = 0$，其解$n=\frac{3\pm3\sqrt{17}}{2}$不是正整数，所以该凸$n$边形不可能有$18$条对角线。