《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1.如图，已知$\triangle ABC \backsim \triangle DEF$，$\frac { A B } { D E } = \frac { 1 } { 2 }$，则下列等式一定成立的是（D）

A. $\frac { B C } { D F } = \frac { 1 } { 2 }$
B. $\frac { \angle A \text{的度数} } { \angle D \text{的度数} } = \frac { 1 } { 2 }$
C. $\frac { \triangle A B C \text{的面积} } { \triangle D E F \text{的面积} } = \frac { 1 } { 2 }$
D. $\frac { \triangle A B C \text{的周长} } { \triangle D E F \text{的周长} } = \frac { 1 } { 2 }$

答案： D

2.若$\triangle A B C$与$\triangle D E F$的相似比为$1 : 3$，则$\triangle A B C$与$\triangle D E F$的面积比为（D）
A. $1 : \sqrt { 3 }$
B. $\sqrt { 3 } : 1$
C. $9 : 1$
D. $1 : 9$

答案： D

3.若$\triangle F H B \backsim \triangle E A D$，它们的周长分别为$30$和$15$，且$F H = 6$，则$E A$的长为（B）
A. $2$
B. $3$
C. $4$
D. $5$

答案： B

4.已知$\triangle A B C \backsim \triangle A ^ { \prime } B ^ { \prime } C ^ { \prime }$，$A B = 6$，$A ^ { \prime } B ^ { \prime } = 4$，相似比$=$$\frac{3}{2}$，周长比$=$$\frac{3}{2}$；面积比$=$$\frac{9}{4}$，对应高的比$=$$\frac{3}{2}$。

答案： $\frac{3}{2}$ $\frac{3}{2}$ $\frac{9}{4}$ $\frac{3}{2}$

5.（循环练）如图，在$\triangle A B C$中，点$D$在边$A B$上，满足$\angle A C D = \angle A B C$，若$A C = 5$，$A D = 1$，求$D B$的长。

答案： 解: 在 $\triangle ACD$ 和 $\triangle ABC$ 中,
$\because ∠ACD = ∠ABC$, $∠A$ 是公共角,
$\therefore \triangle ACD \backsim \triangle ABC$,
$\therefore \frac{AD}{AC} = \frac{AC}{AB}$,
$\because AC = 5$, $AD = 1$,
$\therefore AB = 25$,
$\therefore DB = AB - AD = 24$.

6.如图，已知$\triangle A D E \backsim \triangle A B C$，$\frac { A D } { B D } = \frac { 1 } { 2 }$，且$\triangle A B C$的面积为$18$，则四边形$B C E D$的面积$=$16。

答案： 16

7.如图，在矩形$A B C D$中，$A B = \sqrt { 3 }$，$B C = \sqrt { 6 }$，点$E$在对角线$B D$上，且$B E = 1.8$，连接$A E$并延长交$D C$于点$F$。
（1）求$C F$的长；
（2）求$\frac { S _ { \triangle D E F } } { S _ { \triangle B E A } }$的值。

答案： 解:
(1) $\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形,
$\therefore ∠BAD = 90^{\circ}$,
又 $\because AB = CD = \sqrt{3}$, $BC = AD = \sqrt{6}$,
$\therefore BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = 3$,
$\because BE = 1.8$,
$\therefore DE = BD - BE = 3 - 1.8 = 1.2$,
$\because AB // CD$,
$\therefore \frac{DF}{AB} = \frac{DE}{BE}$, 即 $\frac{DF}{\sqrt{3}} = \frac{1.2}{1.8}$, 解得 $DF = \frac{2\sqrt{3}}{3}$,
则 $CF = CD - DF = \sqrt{3} - \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$;
(2) $\because AB // CD$,
$\therefore \triangle DEF \backsim \triangle BEA$,
$\therefore \frac{S_{\triangle DEF}}{S_{\triangle BEA}} = \left( \frac{DF}{BA} \right)^2 = \left( \frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{3}} \right)^2 = \frac{4}{9}$.

8.如图，将$\triangle A B C$沿$B C$边上的中线$A D$平移到$\triangle A ^ { \prime } B ^ { \prime } C ^ { \prime }$的位置，已知$\triangle A B C$的面积为$9$，阴影部分三角形的面积为$4$，若$A D = 3$，则$A ^ { \prime } A$的长为1。

答案： 1