《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1. 用配方法解方程$x^{2}+2x - 5 = 0$时，原方程应变形为（B）
A. $(x - 1)^{2} = 6$
B. $(x + 1)^{2} = 6$
C. $(x + 2)^{2} = 9$
D. $(x - 2)^{2} = 9$

答案： B

2. 若将方程$x^{2}+6x - 7 = 0$转化为$(x + m)^{2} = n$的形式，则$n = $16。

答案： 16

3. 用配方法解方程：
（1）$x^{2}-7x + 12 = 0$；
（2）$x(x + 8) = 16$；
（3）$\frac{3}{2}x^{2}-4x = \frac{3}{2}$；
（4）$5x^{2}+5 = x(x + 8)$。

答案： 解：
(1) 移项得 $x^{2}-7x=-12$，
配方得 $x^{2}-7x+\left(\dfrac{7}{2}\right)^{2}=-12+\left(\dfrac{7}{2}\right)^{2}$，
$\left(x-\dfrac{7}{2}\right)^{2}=\dfrac{1}{4}$，
由此可得 $x-\dfrac{7}{2}=\pm\dfrac{1}{2}$，$x_{1}=4$，$x_{2}=3$；
(2) 去括号得 $x^{2}+8x=16$，
配方得 $x^{2}+8x+4^{2}=16+4^{2}$，$(x + 4)^{2}=32$，
由此可得 $x + 4=\pm4\sqrt{2}$，
$x_{1}=4\sqrt{2}-4$，$x_{2}=-4\sqrt{2}-4$。
(3) 二次项系数化为1得 $x^{2}-\dfrac{8}{3}x = 1$，
配方得 $x^{2}-\dfrac{8}{3}x+\left(\dfrac{4}{3}\right)^{2}=1+\left(\dfrac{4}{3}\right)^{2}$，
$\left(x-\dfrac{4}{3}\right)^{2}=\dfrac{25}{9}$。
由此可得 $x-\dfrac{4}{3}=\pm\dfrac{5}{3}$，$x_{1}=3$，$x_{2}=-\dfrac{1}{3}$；
(4) 去括号得 $5x^{2}+5=x^{2}+8x$，
移项得 $4x^{2}-8x=-5$，
二次项系数化为1得 $x^{2}-2x = -\dfrac{5}{4}$，
配方得 $x^{2}-2x + 1=-\dfrac{5}{4}+1$，$(x - 1)^{2}=-\dfrac{1}{4}$。
∵ 实数的平方不能是负数，
∴ 原方程无实数根。

4. 如果方程$x^{2}+\frac{1}{2}x + c = 0$有实数根，则$c$的取值范围是$c\leqslant\dfrac{1}{16}$。

答案： $c\leqslant\dfrac{1}{16}$

5. 如果方程$x^{2}+4x + n = 0$可以配方为$(x + m)^{2} = 3$，那么$(n - m)^{2025} = $-1。

答案： -1 解析：移项可得 $x^{2}+4x=-n$，等式两边加4得 $x^{2}+4x + 4=4 - n$，即 $(x + 2)^{2}=4 - n$，$(x + m)^{2}=3$，解得 $m = 2$，$n = 1$，代入得 $(n - m)^{2025}=(1 - 2)^{2025}=-1$。

6. 已知$a$，$b$，$c$为正整数且是$\triangle ABC$三边的长，$c$是$\triangle ABC$的最短边的长，$a$，$b$满足$a^{2}+b^{2} = 16a + 10b - 89$，求$c$的值。

答案： 解：
∵ $a^{2}+b^{2}=16a + 10b - 89$，
∴ $a^{2}-16a + 64+b^{2}-10b + 25=0$，
∴ $(a - 8)^{2}+(b - 5)^{2}=0$，
∴ $a - 8=0$，$b - 5=0$，解得 $a = 8$，$b = 5$。
∵ $a$，$b$，$c$ 为正整数且是 $\triangle ABC$ 三边的长，$c$ 是 $\triangle ABC$ 的最短边，
∴ $8 - 5\lt c\lt5$，
又
∵ $c$ 为正整数，
∴ $c$ 的值为4。

7.（创新题）已知三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程$x^{2}-16x + 60 = 0$的一个根。请用配方法解此方程，并计算出三角形的面积。

答案：
解：方程 $x^{2}-16x + 60=0$ 可化为 $(x - 8)^{2}=4$，
∴ $x - 8=-2$ 或 $x - 8=2$，
解得 $x_{1}=6$，$x_{2}=10$。
如图1所示，

根据勾股定理的逆定理，当第三边长为10时，$\triangle ABC$ 为直角三角形，
∴ $S_{\triangle ABC}=\dfrac{1}{2}×6×8 = 24$；
如图2所示，当第三边长为6时，$\triangle ABC$ 为等腰三角形，

∴ $AD=\sqrt{6^{2}-4^{2}}=2\sqrt{5}$。
∴ $S_{\triangle ABC}=\dfrac{1}{2}×8×2\sqrt{5}=8\sqrt{5}$。
综上所述，三角形的面积为24或 $8\sqrt{5}$。