《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1. 一元二次方程$2x^{2}-x+\frac {1}{8}=0$根的情况是（B）
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根
D. 只有一个实数根

答案： B

2. 下列方程没有实数根的是（B）
A. $x^{2}-2x+1=0$
B. $x^{2}-2x+4=0$
C. $x^{2}+2x=0$
D. $x^{2}+2x-3=0$

答案： B

3. 关于x的方程$x^{2}+mx-1=0$的根的判别式的值为20，则m的值是±4。

答案： ±4

4. 一元二次方程$x^{2}+3x-k+1=0$有实数根，求k的取值范围。

答案： 解：
∵一元二次方程 $ x^{2}+3x - k + 1 = 0 $ 有实数根，
∴ $ \Delta = b^{2}-4ac = 3^{2}-4×(-k + 1)\geq0 $，
解得 $ k\geq-\frac{5}{4} $。

5. (循环练)解方程：
(1)$(1+x)^{2}=4$；
(2)$9x^{2}=3x$。

答案： 解：
(1) 两边开方，得 $ 1 + x = \pm2 $，
解得 $ x_{1}=1 $，$ x_{2}=-3 $；
(2) 整理，得 $ 3x^{2}-x = 0 $，
$ x(3x - 1)=0 $，
$ x_{1}=\frac{1}{3} $，$ x_{2}=0 $。

6. 关于x的一元二次方程$kx^{2}+2x-1=0$有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（D）
A. $k＞-1$
B. $k≥-1$
C. $k≠0$
D. $k＞-1$且$k≠0$

答案： D

7. 关于x的一元二次方程$x^{2}+(2m-1)x+m^{2}=0$，其根的判别式的值为9，求m的值及这个方程的根。

答案： 解：由题意可知，$ \Delta=(2m - 1)^{2}-4m^{2}=9 $，
解得 $ m = -2 $，
该方程为 $ x^{2}-5x + 4 = 0 $，
解得 $ x_{1}=1 $，$ x_{2}=4 $。

8. 已知关于x的方程$(x-1)(x-4)=m^{2}$。
求证：无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根。

答案： 证明：原方程可化为 $ x^{2}-5x + 4 - m^{2}=0 $，
∵ $ a = 1 $，$ b = -5 $，$ c = 4 - m^{2} $，
∴ $ \Delta = b^{2}-4ac = (-5)^{2}-4×1×(4 - m^{2}) = 4m^{2}+9 $，
∵ $ m^{2}\geq0 $，
∴ $ 4m^{2}+9＞0 $，
∴无论 $ m $ 为何值，方程总有两个不相等的实数根。

9. 已知a，b，c分别为$\triangle ABC$三条边的长，且关于x的一元二次方程$2ax^{2}+2bx+c=0$恰有两个相等的实数根。若$∠B=90^{\circ }$，b为斜边长，试判断$\triangle ABC$的形状，并说明理由。

答案： 解：$ \triangle ABC $ 为等腰直角三角形。理由如下：
∵关于 $ x $ 的一元二次方程 $ 2ax^{2}+2bx + c = 0 $ 恰有两个相等的实数根，
∴ $ \Delta=(2b)^{2}-4×2ac = 0 $，
整理得 $ b^{2}=2ac $，
∵ $ \angle B = 90^{\circ} $，
∴ $ \triangle ABC $ 是直角三角形，
∴ $ a^{2}+c^{2}=b^{2} $，
∴ $ a^{2}+c^{2}=2ac $，即 $ a^{2}+c^{2}-2ac = 0 $，
∴ $ (a - c)^{2}=0 $，
∴ $ a = c $，
∴ $ \triangle ABC $ 为等腰直角三角形。