《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1. 对于反比例函数$y=\frac {3}{x}$，下列说法正确的是（D）
A. 图象经过点$(1,-3)$
B. 图象在第二、四象限
C. 当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大
D. 当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小

答案： D

2. 反比例函数的图象经过点$(1,-2)$，那么这个函数的解析式是$ y = -\frac{2}{x} $。

答案： $ y = -\frac{2}{x} $

3. 如图，直线$y_{1}=ax+b$与双曲线$y_{2}=-\frac {k}{x}$的图象相交于$A(2,2)$，$B(-1,-4)$两点，则：
（1）当$ x = -1 $ 或 $ x = 2 $时，$y_{1}=y_{2}$；
（2）当$ -1 ＜ x ＜ 0 $ 或 $ x ＞ 2 $时，$y_{1}＞y_{2}$；
（3）当$ x ＜ -1 $ 或 $ 0 ＜ x ＜ 2 $时，$y_{1}＜y_{2}$。

答案：
(1) $ x = -1 $ 或 $ x = 2 $
(2) $ -1 ＜ x ＜ 0 $ 或 $ x ＞ 2 $
(3) $ x ＜ -1 $ 或 $ 0 ＜ x ＜ 2 $

4. 二次函数$y=ax^{2}+bx+c$的图象如图所示，则一次函数$y=ax+b$和反比例函数$y=\frac {c}{x}$在同一平面直角坐标系中的图象可能是（C）

答案： C 解析：
∵ 二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的图象开口向上，得出 $ a ＞ 0 $，与 $ y $ 轴交点在 $ y $ 轴的负半轴，得出 $ c ＜ 0 $，利用对称轴 $ x = -\frac{b}{2a} ＜ 0 $，得出 $ b ＞ 0 $，
∴ 一次函数 $ y = ax + b $ 经过一、二、三象限，反比例函数 $ y = \frac{c}{x} $ 经过二、四象限，故选 C.

5. （2024·蓬江期末）反比例函数$y_{1}$、$y_{2}=-\frac {12}{x}$在第二象限的图象如图所示，过$y_{2}$上的任意一点$A$，作$x$轴的平行线交$y_{1}$于点$B$，交$y$轴于点$C$，若$\triangle AOB$的面积是$3$，则$y_{1}$的解析式为$ y_{1} = -\frac{6}{x} $。

答案： $ y_{1} = -\frac{6}{x} $ 解析：设双曲线 $ y_{1} $ 的解析式为 $ y_{1} = \frac{k}{x} $，由题意得 $ S_{\triangle AOC} - S_{\triangle BOC} = S_{\triangle AOB} $，$ \frac{12}{2} - \frac{|k|}{2} = 3 $，解得 $ k = \pm 6 $；
∵ 反比例函数的图象位于第二象限，
∴ 双曲线 $ y_{1} $ 的解析式为 $ y_{1} = -\frac{6}{x} $.

6. （2024·茂名期末）如图，已知一次函数$y=ax+b$的图象与反比例函数$y=\frac {m}{x}$的图象交于$A(2,n)$，$B(-3,-1)$两点，与$y$轴相交于点$C$。
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）若点$D$与点$C$关于$x$轴对称，求$\triangle ABD$的面积；
（3）根据图象直接写出不等式$ax+b-\frac {m}{x}＞0$的解集。

答案： 解：
(1) 把 $ B(-3, -1) $ 代入 $ y = \frac{m}{x} $，得 $ m = 3 $，
∴ 反比例函数的解析式为 $ y = \frac{3}{x} $；把 $ A(2, n) $ 代入 $ y = \frac{3}{x} $，得 $ n = \frac{3}{2} $，
∴ $ A(2, \frac{3}{2}) $，把 $ A(2, \frac{3}{2}) $，$ B(-3, -1) $ 代入 $ y = ax + b $，得 $ \begin{cases} 2a + b = \frac{3}{2} \\ -3a + b = -1 \end{cases} $，解得 $ \begin{cases} a = \frac{1}{2} \\ b = \frac{1}{2} \end{cases} $，
∴ 一次函数的解析式为 $ y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} $；
(2) 由 $ y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} $ 可知点 $ C $ 的坐标为 $ (0, \frac{1}{2}) $，
∵ 点 $ D $ 与点 $ C $ 关于 $ x $ 轴对称，
∴ $ D(0, -\frac{1}{2}) $，
∴ $ CD = 1 $，
∴ $ S_{\triangle ABD} = S_{\triangle ACD} + S_{\triangle BCD} = \frac{1}{2} × 1 × 2 + \frac{1}{2} × 1 × 3 = \frac{5}{2} $；