《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1. 用配方法将下列二次函数的一般式化为顶点式[即$y=(a - h)^{2}+k$]的形式,并指出其开口方向、对称轴和顶点坐标.
(1)$y = x^{2}+6x + 3$;
(2)$y = 3x^{2}-6x - 1$;
(3)$y = -x^{2}+4x + 2$;
(4)$y = -\frac{1}{2}x^{2}-4x + 5$.

答案： 解:
(1) $ y = x^{2} + 6x + 3 = (x + 3)^{2} - 6 $，开口向上，对称轴是 $ x = - 3 $，顶点坐标为 $ (-3, - 6) $；
(2) $ y = 3x^{2} - 6x - 1 = 3(x - 1)^{2} - 4 $，开口向上，对称轴是 $ x = 1 $，顶点坐标为 $ (1, - 4) $；
(3) $ y = - x^{2} + 4x + 2 = - (x - 2)^{2} + 6 $，开口向下，对称轴是 $ x = 2 $，顶点坐标为 $ (2, 6) $；
(4) $ y = - \frac{1}{2}x^{2} - 4x + 5 = - \frac{1}{2}(x + 4)^{2} + 13 $，开口向下，对称轴是 $ x = - 4 $，顶点坐标为 $ (-4, 13) $。

2. 抛物线$y = 3x^{2}+6x + 4$的顶点坐标是$ (-1, 1) $.

答案： $ (-1, 1) $

3. 抛物线$y = -\frac{1}{4}x^{2}+x - 4$的对称轴是直线(B)
A. $x = -2$
B. $x = 2$
C. $x = -4$
D. $x = 4$

答案： B

4. (循环练)若关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx + 5 = 0$的一个根是$x = -1$,则$2025 - a + b$的值是(D)
A. 2020
B. 2021
C. 2029
D. 2030

答案： D

5. 抛物线$y = 3x^{2}+6x + c$的顶点是$(-1,2)$,则$c =$5.

答案： 5

6. 某喷泉的喷嘴安装在草地上,有一喷嘴喷出的水流呈抛物线状,喷出水流的高度$y(\text{m})$与喷出水流距喷嘴的水平距离$x(\text{m})$满足$y = -0.5x^{2}+2x$,则喷嘴能喷出水流的最大高度为2 m.

答案： 2 m

7. 要将抛物线$y = x^{2}+2x + 3$平移后得到抛物线$y = x^{2}$,下列平移方法正确的是(D)
A. 向左平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度
B. 向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度
C. 向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度
D. 向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度

答案： D 解析: 由 $ y = x^{2} + 2x + 3 $ 整理得 $ y = (x + 1)^{2} + 2 $，其顶点坐标为 $ (-1, 2) $，$ y = x^{2} $ 的顶点坐标为 $ (0, 0) $，
∴ 要将抛物线 $ y = x^{2} + 2x + 3 $ 向右平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度才能得到抛物线 $ y = x^{2} $。故选 D。

8. 已知直线$y = kx + b$经过抛物线$y = -\frac{1}{2}x^{2}+2x + 1$的顶点$A$和抛物线$y = -2(x - 1)^{2}$的顶点$B$,求直线$AB$的解析式.

答案： 解:
∵ 整理，得 $ y = - \frac{1}{2}x^{2} + 2x + 1 = - \frac{1}{2}(x - 2)^{2} + 3 $，
∴ 顶点 A 坐标为 $ (2, 3) $。
∵ $ y = - 2(x - 1)^{2} $ 的顶点 B 坐标为 $ (1, 0) $，直线 $ y = kx + b $ 经过点 A，B，则 $ \begin{cases} k + b = 0, \\ 2k + b = 3, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} k = 3, \\ b = - 3, \end{cases} $
∴ 直线 AB 的解析式为 $ y = 3x - 3 $。