《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1.已知二次函数$y=x^{2}+x+2m$的图象经过点$A(-1,2)$，则$m$的值为1.

答案： 1

2.已知$A(2,18)$是抛物线$y=ax^{2}$上的点，求这条抛物线的解析式.

答案： 解：把点 $ A(2,18) $ 代入 $ y = ax^{2} $，得 $ 18 = a \cdot 2^{2} $，解得 $ a = \frac{9}{2} $，
∴ 这条抛物线的解析式为 $ y = \frac{9}{2}x^{2} $。

3.已知抛物线$y=-x^{2}+bx+c$经过$(3,0)$和$(-1,0)$两点，求这条抛物线的解析式.

答案： 解：由题意得 $ \begin{cases} -9 + 3b + c = 0, \\ -1 - b + c = 0, \end{cases} $
解得 $ \begin{cases} b = 2, \\ c = 3, \end{cases} $
∴ 该抛物线的解析式为 $ y = -x^{2} + 2x + 3 $。

4.已知二次函数的图象经过$A(0,-1)$，$B(1,-3)$，$C(-1,3)$三点.
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)求出图象的顶点坐标；
(3)判断点$P(-2,3)$是否在这个二次函数的图象上？

答案： 解：
(1) 设该二次函数的解析式为 $ y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0) $，
根据题意得 $ \begin{cases} c = -1, \\ a + b + c = -3, \\ a - b + c = 3, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} a = 1, \\ b = -3, \\ c = -1, \end{cases} $
∴ 这个二次函数解析式为 $ y = x^{2} - 3x - 1 $；
(2) 把解析式配方，得 $ y = x^{2} - 3x - 1 = \left( x - \frac{3}{2} \right)^{2} - \frac{13}{4} $，
∴ 顶点坐标为 $ \left( \frac{3}{2}, -\frac{13}{4} \right) $。
(3)
∵ 当 $ x = -2 $ 时，$ y = (-2)^{2} - 3 × (-2) - 1 = 9 $，
∴ 点 $ P $ 不在这个二次函数的图象上。

5.如图，$\triangle AOB$是等边三角形，且点$A$的坐标为$(2,0)$.若某抛物线经过$\triangle AOB$的三个顶点，求该抛物线的解析式.

答案：
解：
∵ 点 $ O $，$ A $ 的坐标分别为 $ O(0,0) $，$ A(2,0) $，
∴ $ OA = 2 $，如图，作 $ BC \perp OA $ 于点 $ C $，

∵ $ \triangle AOB $ 是等边三角形，
∴ $ \angle AOB = 60^{\circ} $，$ OB = OA = 2 $，$ OC = AC = 1 $，
∴ $ BC = \sqrt{OB^{2} - OC^{2}} = \sqrt{3} $，
∴ 点 $ B $ 的坐标为 $ (1, \sqrt{3}) $。
设该抛物线的解析式为 $ y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0) $，
把 $ (0,0) $，$ (2,0) $，$ (1, \sqrt{3}) $ 代入得 $ \begin{cases} c = 0, \\ 4a + 2b + c = 0, \\ a + b + c = \sqrt{3}, \end{cases} $
解得 $ a = -\sqrt{3} $，$ b = 2\sqrt{3} $，$ c = 0 $，
∴ 该抛物线的解析式为 $ y = -\sqrt{3}x^{2} + 2\sqrt{3}x $。

6.如图，二次函数$y=ax^{2}-4x+c$的图象经过坐标原点，与$x$轴交于点$A(-4,0)$.
(1)求此二次函数的解析式；
(2)在抛物线上存在点$P$，满足$S_{\triangle AOP}=8$，请求出点$P$的坐标.

答案： 解：
(1) 把 $ (0,0) $，$ (-4,0) $ 分别代入 $ y = ax^{2} - 4x + c $，得 $ \begin{cases} c = 0, \\ 16a + 16 + c = 0, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} a = -1, \\ c = 0, \end{cases} $
∴ 此二次函数的解析式为 $ y = -x^{2} - 4x $；
(2)
∵ $ S_{\triangle AOP} = 8 $，即 $ \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot |y_{p}| = 8 $，
∴ $ y_{p} = \pm 4 $。
当 $ y = 4 $ 时，$ 4 = -x^{2} - 4x $，解得 $ x_{1} = x_{2} = -2 $，
∴ $ P_{1}(-2,4) $；
当 $ y = -4 $ 时，$ -4 = -x^{2} - 4x $，解得 $ x = -2 \pm 2\sqrt{2} $，
∴ $ P_{2}(-2 - 2\sqrt{2}, -4) $，$ P_{3}(-2 + 2\sqrt{2}, -4) $。
综上所述，点 $ P $ 的坐标为 $ (-2,4) $，$ (-2 - 2\sqrt{2}, -4) $，$ (-2 + 2\sqrt{2}, -4) $。