《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1.如图，$\odot O$是$\triangle ABC$的内切圆，切点分别为点$D$，$E$，$F$，$BD = 4$，$CF = 5$，则$BC =$9.

答案： 9

2.如图，$PA$，$PB$分别是$\odot O$的切线，点$A$，$B$为切点，$AC$是$\odot O$的直径，已知$\angle BAC = 35^{\circ}$，则$\angle P$的度数为（D）

A.$35^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$70^{\circ}$

答案： D 解析：
∵PA，PB 分别是⊙O 的切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∵OA=OB，∠BAC=35°，
∴∠ABO=∠BAC=35°，
∴∠AOB=180°−35°−35°=110°，在四边形 APBO 中，∠OAP=∠OBP=90°，∠AOB=110°，则∠P=360°−(∠OAP+∠OBP+∠AOB)=70°。故选 D。

3.如图，$PA$，$PB$是$\odot O$的两条切线，点$A$，$B$是切点，若$\angle APB = 60^{\circ}$，$PO = 2$，则$\odot O$的半径为1.

答案： 1 解析：
∵PA，PB 是⊙O 的两条切线，
∴∠APO=∠BPO=$\frac{1}{2}$∠APB，∠PAO=90°，
∵∠APB=60°，
∴∠APO=30°，
∵PO=2，
∴AO=1。

4.如图，$PA$，$PB$是$\odot O$的切线，点$A$，$B$为切点，$AC$是$\odot O$的直径，$\angle P = 60^{\circ}$.
（1）求$\angle BAC$的度数；
（2）当$OA = 2$时，求$AB$的长.

答案：
解：
(1)
∵PA，PB 是⊙O 的切线，
∴AP=BP，
∵∠P=60°，
∴∠PAB=60°，
∵∠PAC=90°，
∴∠BAC=90°−60°=30°；
(2)如图，连接 OP。

在 Rt△AOP 中，OA=2，∠APO=30°，
∴OP=4，由勾股定理，得 AP=2$\sqrt{3}$，
∵AP=BP，∠APB=60°，
∴△APB 是等边三角形，
∴AB=AP=2$\sqrt{3}$。

5.如图，$AB$，$BC$，$CD$分别切$\odot O$于点$E$，$F$，$G$，且$AB// CD$，$BO = 3\mathrm{cm}$，$CO = 4\mathrm{cm}$，则$BC$等于（A）

A.$5\mathrm{cm}$
B.$6\mathrm{cm}$
C.$7\mathrm{cm}$
D.$8\mathrm{cm}$

答案： A 解析：
∵AB，BC，CD 分别切⊙O 于点 E，F，G，
∴∠EBO=∠FBO，∠GCO=∠FCO，
∵AB//CD，
∴∠EBC+∠GCB=180°，
∵2∠FBO+2∠FCO=180°，
∴∠FBO+∠FCO=90°，
∴∠BOC=90°，
∵BO=3cm，CO=4cm，
∴BC=$\sqrt{3^{2}+4^{2}}$=5cm。故选 A。

6.如图，$\odot O$与$\triangle ABC$的三边相切，连接$OA$，$OB$，$OC$，若$\angle BAC = 40^{\circ}$，则$\angle BOC =$110°.

答案： 110° 解析：
∵∠BAC=40°，
∴∠ABC+∠ACB=140°，
∵⊙O 与△ABC 的三边相切，
∴点 O 是△ABC 的内心，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=70°，
∴∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=110°。

7.如图，在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 6$，$BC = 8$，则$\triangle ABC$的内切圆的半径$R$是2.

答案： 1. 首先，根据勾股定理求斜边$AB$的长度：
在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，由勾股定理$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}$。
已知$AC = 6$，$BC = 8$，则$AB=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{36 + 64}=\sqrt{100}=10$。
2. 然后，根据直角三角形内切圆半径公式$R=\frac{a + b - c}{2}$（$a$、$b$为直角边，$c$为斜边）求内切圆半径$R$：
这里$a = 6$，$b = 8$，$c = 10$。
代入公式$R=\frac{AC + BC-AB}{2}$。
即$R=\frac{6 + 8-10}{2}$。
先计算分子$6 + 8-10=4$，再计算$\frac{4}{2}=2$。
所以$\triangle ABC$的内切圆的半径$R$是$2$。

8.如图，$\odot O$是$\triangle ABC$的内切圆，切点分别是点$D$，$E$，$F$，已知$\angle A = 100^{\circ}$，$\angle C = 20^{\circ}$.
（1）$\angle DFE =$60°；
（2）若$\triangle ABC$的周长为$20\mathrm{cm}$，$AC = 6\mathrm{cm}$，求$DE$的长.

解：∵⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别是点 D，E，F，∴AD=AF，BD=BE，CF=CE，∵AC=6cm，∴AF+CF=AD+CE=AC=6cm。∵△ABC 的周长为 20cm，∴BD+BE=20−6×2=8cm。∴BD=BE=4cm，∵∠A=100°，∠C=20°，∴∠B=60°，∴△BDE 是等边三角形，∴DE=BD=4cm。

答案：
(1)60°
(2)解：
∵⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别是点 D，E，F，
∴AD=AF，BD=BE，CF=CE，
∵AC=6cm，
∴AF+CF=AD+CE=AC=6cm。
∵△ABC 的周长为 20cm，
∴BD+BE=20−6×2=8cm。
∴BD=BE=4cm，
∵∠A=100°，∠C=20°，
∴∠B=60°，
∴△BDE 是等边三角形，
∴DE=BD=4cm。