《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1.如图，在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$。若$∠1 = 45^{\circ}$，则$∠2 =$（D）

A.$30^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$90^{\circ}$
D.$45^{\circ}$

答案： D

2.如图，$AB$是$\odot O$的直径，四边形$ABCD$内接于$\odot O$。若$BC = CD = DA = 5cm$，则$\odot O$的直径$AB$为10$cm$。

答案： 10

3.如图，在$\odot O$中，$AB = CD$，下列结论：①$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$；②$AC = BD$；③$∠AOC = ∠BOD$；④$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$。其中正确结论的个数是（D）

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： D

4.如图，已知$AB$为$\odot O$的直径，$M$，$N$分别为$OA$，$OB$的中点，$CM⊥AB$，$DN⊥AB$，垂足分别为点$M$，$N$，连接$OC$，$OD$。求证：$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$。

答案： 证明:
∵ $ OA = OB $，$ M $，$ N $ 分别为 $ OA $，$ OB $ 的中点，
∴ $ OM = ON $，
在 $ Rt\triangle COM $ 和 $ Rt\triangle DON $ 中，
$ \left\{ \begin{array} { l } { O M = O N, } \\ { O C = O D, } \end{array} \right. $
∴ $ Rt\triangle COM \cong Rt\triangle DON ( H L ) $，
∴ $ \angle C O M = \angle D O N $，
∴ $ \overparen { A C } = \overparen { B D } $。

5.如图，$AB$是$\odot O$的直径，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}$，$∠COD = 60^{\circ}$。请判断$\triangle AOC$的形状，并说明理由。

答案： 解: $ \triangle A O C $ 是等边三角形。理由如下:
∵ $ \overparen { A C } = \overparen { C D } $，
∴ $ \angle A O C = \angle C O D = 60 ^ { \circ } $。
又
∵ $ O A = O C $，
∴ $ \triangle A O C $ 是等边三角形。

6.如图，以平行四边形$ABCD$的顶点$A$为圆心，$AB$为半径作$\odot A$，分别交$AD$，$BC$于点$E$，$F$，延长$BA$交$\odot A$于点$G$，求证：$\overset{\frown}{GE}=\overset{\frown}{EF}$。

答案：
证明:如图，连接 $ AF $。

∵ $ A B = A F $，
∴ $ \angle A B F = \angle A F B $。
∵ 四边形 $ A B C D $ 是平行四边形，
∴ $ A D // B C $。
∴ $ \angle D A F = \angle A F B $，$ \angle G A E = \angle A B F $。
∴ $ \angle G A E = \angle E A F $。
∴ $ \overparen { G E } = \overparen { E F } $。

7.如图，$∠AOB = 90^{\circ}$，$C$，$D$是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，$AB$分别交$OC$，$OD$于点$E$，$F$，求证：$AE = CD$。

答案：
证明:如图，连接 $ AC $。

∵ $ \angle A O B = 90 ^ { \circ } $，$ C $，$ D $ 是 $ \overparen { A B } $ 的三等分点，
∴ $ \angle A O C = \angle C O D = 30 ^ { \circ } $，
∴ $ A C = C D $，
又
∵ $ O A = O C $，
∴ $ \angle A C E = 75 ^ { \circ } $。
∵ $ \angle A O B = 90 ^ { \circ } $，$ O A = O B $，
∴ $ \angle O A B = 45 ^ { \circ } $，$ \angle A E C = \angle A O C + \angle O A B = 75 ^ { \circ } $，
∴ $ \angle A C E = \angle A E C $，
∴ $ A E = A C $，
∴ $ A E = C D $。