《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1.在如图所示的平面直角坐标系中,桥孔抛物线对应的二次函数解析式是$y=-\frac {1}{3}x^{2}$,桥下的水面宽AB为6m.当水位上涨1m时,求水面宽CD的长度(结果保留根号).

答案： 解：
∵ 桥下的水面宽 $ AB $ 为 $ 6m $，
∴ 点 $ B $ 横坐标为 $ 3 $，则 $ y = -\frac{1}{3} × 3^{2} = -3 $，
∴ 此时点 $ B $ 纵坐标为 $ -3 $，
∵ 水位上涨 $ 1m $，
∴ 点 $ D $ 纵坐标为 $ -2 $，
∴ $ -2 = -\frac{1}{3}x^{2} $，解得 $ x = \pm \sqrt{6} $，
∴ $ CD = 2\sqrt{6}m $。
∴ 当水位上涨 $ 1m $ 时，水面宽 $ CD $ 为 $ 2\sqrt{6}m $。

2.如图,一个高尔夫球在地面O点被击出,球的飞行路线是抛物线$y=-\frac {1}{5}x^{2}+\frac {8}{5}x$,其中y(单位:m)是飞行高度,x(单位:m)是球飞出的水平距离.
(1)求球飞行过程中的最大高度;
(2)求球飞行过程中的最大水平距离.

答案： 解：
(1) 整理方程得 $ y = -\frac{1}{5}(x - 4)^{2} + \frac{16}{5} $，
∴ 球飞行过程中的最大高度为 $ \frac{16}{5}m $；
(2) 最大水平距离即 $ OB $ 长度，
令 $ y = 0 $，则 $ -\frac{1}{5}x^{2} + \frac{8}{5}x = 0 $，
解得 $ x_{1} = 0 $，$ x_{2} = 8 $，
∴ $ OB = 8m $，即最大水平距离为 $ 8m $。

3.如图,小华在球门正前方9米处将球射向球门,当球飞行的水平距离为6米时,球达到最高点A,此时球距地面3米.
(1)求球飞行轨迹的抛物线的解析式;
(2)若球门高2.5米,问能否射中球门?

答案： 解：
(1) 由题意知，顶点 $ A $ 的坐标为 $ (6, 3) $，设 $ y = a(x - 6)^{2} + 3 $，
∵ 过原点 $ (0, 0) $，
∴ $ 0 = a(0 - 6)^{2} + 3 $，解得 $ a = -\frac{1}{12} $，
∴ $ y = -\frac{1}{12}(x - 6)^{2} + 3 $；
(2) 当 $ x = 9 $ 时 $ y = -\frac{1}{12}(9 - 6)^{2} + 3 = 2.25 ＜ 2.5 $，
∴ 能射中球门。

4.如图1,公园草坪的地面有一根直立水管,喷水口可上下移动,喷出抛物线形的水线也随之上下移动,图2是其示意图.开始喷水后,若喷水口在O处,水线落地点为A,$OA=4m$.现将喷水口上升到P处,此时水线落地点为B,$OP=1.5m$,$OB=6m$.
(1)求水线的最大高度;
(2)身高1.5m的小红要从水线下某点经过,为了不被水喷到,该点与点O的水平距离应满足什么条件?请通过计算说明.

答案： 解：
(1)
∵ $ OA = 4m $，
∴ 抛物线的对称轴是直线 $ x = 2 $。
由题意，设过点 $ P $ 的抛物线的解析式为 $ y = a(x - 2)^{2} + h $。
将 $ P(0, 1.5) $，$ B(6, 0) $ 代入 $ y = a(x - 2)^{2} + h $，
得 $ \begin{cases} 4a + h = 1.5, \\ 16a + h = 0, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} a = -\frac{1}{8}, \\ h = 2 \end{cases} $
∴ $ y = -\frac{1}{8}(x - 2)^{2} + 2 $。
∵ $ -\frac{1}{8} ＜ 0 $，
∴ $ y_{\text{max}} = 2 $。
∴ 水线的最大高度为 $ 2m $。
(2) 令 $ y = 1.5 $，则 $ 1.5 = -\frac{1}{8}(x - 2)^{2} + 2 $，解得 $ x = 0 $ 或 $ x = 4 $，
∴ 为了不被水喷到，该点与点 $ O $ 的水平距离应满足 $ 0 \sim 4m $。