《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1.二次函数$y=ax^{2}+bx+c$的图象如图所示,根据图象可知,当$x=1$或$x=3$时,$y$=0.

答案： =

2.二次函数$y=ax^{2}+bx+c$的图象如图所示,则方程$ax^{2}+bx+c=0$的解为$ x _ { 1 } = - 1 $, $ x _ { 2 } = 3 $.

答案： $ x _ { 1 } = - 1 $, $ x _ { 2 } = 3 $

3.二次函数$y=x^{2}-2x-3$的图象与$x$轴交点的个数为(B)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案： B

4.若二次函数$y=ax^{2}+bx+c$的图象与$x$轴只有一个公共点,则对应的一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$的根的情况是(B)
A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定

答案： B

5.若抛物线$y=-kx^{2}+4x-2$与$x$轴有交点,则$k$的取值范围为$ k \leq 2 $ 且 $ k \neq 0 $.

答案： $ k \leq 2 $ 且 $ k \neq 0 $

6.(循环练)将抛物线$y=x^{2}+2$向下平移3个单位长度后所得的解析式为(C)
A.$y=(x-1)^{2}$
B.$y=x^{2}-5$
C.$y=x^{2}-1$
D.$y=x^{2}+1$

答案： C

7.求抛物线$y=x^{2}+x-6$与$x$轴的交点坐标,与$y$轴的交点坐标.

答案： 解: 令 $ y = 0 $ 得 $ x ^ { 2 } + x - 6 = 0 $, $ ( x + 3 ) ( x - 2 ) = 0 $,
$ x _ { 1 } = - 3 $, $ x _ { 2 } = 2 $, 即与 $ x $ 轴的交点坐标为
$ ( - 3, 0 ) $, $ ( 2, 0 ) $,
令 $ x = 0 $, 得 $ y = - 6 $, 即与 $ y $ 轴的交点坐标为
$ ( 0, - 6 ) $.

8.已知二次函数$y=x^{2}-2mx+m^{2}+3$($m$是常数).
(1)求证:不论$m$为何值,该函数的图象与$x$轴没有公共点;
(2)把该函数的图象沿$y$轴向上平移几个单位长度后,得到的函数的图象与$x$轴只有一个公共点?

答案：
(1) 证明: $ \because \Delta = ( - 2 m ) ^ { 2 } - 4 × 1 × ( m ^ { 2 } + 3 ) = $
$ 4 m ^ { 2 } - 4 m ^ { 2 } - 12 = - 12 ＜ 0 $,
$ \therefore $ 方程 $ x ^ { 2 } - 2 m x + m ^ { 2 } + 3 = 0 $ 没有实数根,
$ \therefore $ 不论 $ m $ 为何值, 该函数的图象与 $ x $ 轴没有
公共点;
(2) 解: $ \because y = x ^ { 2 } - 2 m x + m ^ { 2 } + 3 = ( x - m ) ^ { 2 } + 3 $,
$ \therefore $ 该函数图象的顶点坐标为 $ ( m, 3 ) $,
$ \therefore $ 把该函数的图象沿 $ y $ 轴向上平移 $ - 3 $ 个单
位长度后, 得到的函数的图象与 $ x $ 轴只有一
个公共点.

9.已知函数$y=(m-1)x^{2}+4x+2$.
(1)当抛物线开口向上时,求$m$的取值范围;
(2)当图象与$x$轴有两个交点时,求$m$的取值范围;
(3)当图象与$x$轴只有一个交点时,求$m$的取值范围.

答案： 解:
(1) 由题意, 得 $ m - 1 ＞ 0 $,
$ \therefore m ＞ 1 $,
即当 $ m ＞ 1 $ 时, 抛物线开口向上;
(2) 由题意, 得 $ \Delta = 16 - 4 ( m - 1 ) × 2 ＞ 0 $, 且 $ m - 1 $
$ \neq 0 $,
$ \therefore m ＜ 3 $ 且 $ m \neq 1 $,
故当 $ m ＜ 3 $ 且 $ m \neq 1 $ 时, 函数图象与 $ x $ 轴有两
个交点;
(3) 由题意, 得 $ \Delta = 16 - 4 ( m - 1 ) × 2 = 0 $, 解
得 $ m = 3 $;
当 $ m - 1 = 0 $ 时, 即 $ m = 1 $, 图象与 $ x $ 轴只有一个
交点;
综上所述, 当 $ m = 3 $ 或 $ m = 1 $ 时, 图象与 $ x $ 轴只
有一个交点.