《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1.某超市一月份的营业额为36万元,三月份的营业额为48万元,设每月的平均增长率为x,则可列方程为 (D)
A.$48(1-x)^{2}=36$
B.$48(1+x)^{2}=36$
C.$36(1-x)^{2}=48$
D.$36(1+x)^{2}=48$

答案： D

2.某药品经过两次降价,每瓶零售价由200元降为128元.已知两次降价的百分率相同,求每次降价的百分率.

答案： 【解析】：设每次降价的百分率为$x$。
第一次降价后的价格是$200(1 - x)$元，第二次降价是在第一次降价后的价格基础上进行的，所以第二次降价后的价格为$200(1 - x)(1 - x)=200(1 - x)^{2}$元。
已知两次降价后价格为$128$元，则可列方程$200(1 - x)^{2}=128$。
$(1 - x)^{2}=\frac{128}{200}=0.64$，
$1 - x=\pm0.8$。
当$1 - x = 0.8$时，$x = 1 - 0.8 = 0.2 = 20\%$；
当$1 - x=-0.8$时，$x = 1+0.8 = 1.8$（降价百分率不能大于$1$，舍去）。
【答案】：$20\%$

3.若小童利用手机发短信给若干个同学,收到短信的同学又按小童的发送人数发送该短信,经过两轮发送后,共有30人手机上收到该短信,则每轮一个人要给5个同学发短信.

答案： 5

4. 2023年某县投入教育经费6000万元,2025年投入教育经费8640万元,假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同.
(1)求这两年该县投入教育经费的年平均增长率;
(2)若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率,请你预算2026年该县投入教育经费多少万元.

答案： 【解析】：
(1)设这两年该县投入教育经费的年平均增长率为$x$。
根据2023年投入教育经费$6000$万元，那么2024年投入教育经费$6000(1 + x)$万元，2025年投入教育经费$6000(1 + x)^2$万元。
已知2025年投入教育经费$8640$万元，则可列出方程：
$6000(1 + x)^2=8640$
$(1 + x)^2=\frac{8640}{6000}=1.44$
$1 + x=\pm1.2$
当$1 + x = 1.2$时，$x = 1.2-1 = 0.2 = 20\%$；
当$1 + x=-1.2$时，$x=-1.2 - 1=-2.2$（增长率不能为负，舍去）。
所以这两年该县投入教育经费的年平均增长率为$20\%$。
(2)因为2025年投入教育经费$8640$万元，且年平均增长率为$20\%$，
所以2026年该县投入教育经费为$8640×(1 + 20\%)=8640×1.2 = 10368$（万元）。
【答案】：
(1)$20\%$；
(2)$10368$万元

5.有一个人患了流感,经过两轮传染后共有81人患了流感.
(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人?
(2)如果不及时控制,三轮传染后,患病的人数会不会超过700人?

答案： 【解析】：
(1)设每轮传染中平均一个人传染了$x$个人。
第一轮传染后患病的人数为$1 + x$；第二轮传染是由$(1 + x)$个人去传染，那么第二轮新增患病人数为$x(1 + x)$，所以经过两轮传染后患病的总人数为$1 + x+x(1 + x)$。
根据经过两轮传染后共有$81$人患了流感，可列方程：
$1 + x+(1 + x)x = 81$
将方程变形为$(1 + x)^{2}=81$
开平方得$1 + x=\pm9$
当$1 + x = 9$时，$x = 8$；
当$1 + x=-9$时，$x=-10$（传染的人数不能为负数，舍去）。
所以每轮传染中平均一个人传染了$8$个人。
(2)由
(1)知每轮传染中平均一个人传染$8$个人，经过两轮传染后有$81$人患病。
那么三轮传染后新增患病人数为$81×8$，三轮传染后患病的总人数为$81+81×8=81×(1 + 8)=81×9 = 729$人。
因为$729\gt700$，所以如果不及时控制，三轮传染后，患病的人数会超过$700$人。
【答案】：
(1)$8$；
(2)会

6.某机械厂七月份生产零件50万个,第三季度生产零件182万个,若该厂八、九月份平均每月生产零件的增长率均为x,则下面所列方程正确的是 (D)
A.$50(1+x)^{2}=182$
B.$50+50(1+x)^{2}=182$
C.$50+50(1+x)+50(1+2x)=182$
D.$50+50(1+x)+50(1+x)^{2}=182$

答案： D

7.“阳光玫瑰”是一种优质的葡萄品种.某葡萄种植基地2022年年底已经种植“阳光玫瑰”300亩,到2024年年底“阳光玫瑰”的种植面积达到432亩.
(1)求该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率;
(2)某水果市场9月底以25元/kg的价格从基地批发500千克“阳光玫瑰”放在冷库内,冷库存放一天需费用100元(储藏时间不超过12天),此时“阳光玫瑰”市场价为30元/kg,因国庆黄金周的到来,此后每千克“阳光玫瑰”的市场价格每天上涨1.5元,但是,平均每天还有10千克“阳光玫瑰”变质丢弃.若市场经理想获得4500元的利润,需将“阳光玫瑰”储藏多少天后一次性售出?

答案： 解：
(1)
∵ 方程有两个不相等的实数根，
∴ $ b ^ { 2 } - 4 a c = ( 2 k - 1 ) ^ { 2 } - 4 ( k ^ { 2 } - 1 ) ＞ 0 $，
∴ $ k ＜ \frac { 5 } { 4 } $，
由题意得 $ 300 ( 1 + x ) ^ { 2 } = 432 $，
解得 $ x _ { 1 } = 0.2 = 20 \% , x _ { 2 } = - 2.2 $ (不合题意，舍去)，
答：该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为 $ 20 \% $；
(2) 设若市场经理想获得 $ 4500 $ 元的利润，需将“阳光玫瑰”储藏 $ y $ 天后一次性售出，
由题意得 $ ( 30 + 1.5 y ) ( 500 - 10 y ) - 25 × 500 - 100 y = 4500 $，
解得 $ y _ { 1 } = 10 , y _ { 2 } = \frac { 40 } { 3 } $ (不合题意，舍去)，
答：若市场经理想获得 $ 4500 $ 元的利润，需将“阳光玫瑰”储藏 $ 10 $ 天后一次性售出.