《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1.某畅销书的售价为每本30元,每星期可卖出200本.经市场调研,如果每本书的售价每上调2元,每星期就少卖出40本.设每本书的售价上调x元后,每星期售出此畅销书的总销售额为y元,则y与x之间的函数解析式为 (D)
A.$y=(30 - x)(200 + 40x)$
B.$y=(30 - x)(200 + 20x)$
C.$y=(30 + x)(200 - 40x)$
D.$y=(30 + x)(200 - 20x)$

答案： D

2.服装店将进价为每件100元的服装按每件x$(x ＞ 100)$元出售,每天可销售$(200 - x)$件,若想获得最大利润,则x的值为 (A)
A.150
B.160
C.170
D.180

答案： A 解析:设获得利润为 y 元,由题意得 $ y = (x - 100) \cdot (200 - x) = -x^{2} + 300x - 20000 = -(x - 150)^{2} + 2500 $, $ a = -1 ＜ 0 $,当 $ x = 150 $ 时,y 取得最大值 2500.故选 A.

3.某旅游纪念品每件进价为6元,当销售单价为8元时,每天可售200件,市场调查反映:销售单价每提高1元,日销量将会减少10件;物价部门规定:销售单价不能超过12元.设该纪念品的销售单价为x元,日销量为y件,日销售利润为W元.
(1)求y与x的函数解析式;
(2)若日销售利润为720元,销售单价应为多少元?
(3)求日销售利润W与销售单价x的函数解析式;当x为何值时,日销售利润最大?并求出最大利润.

答案： 解:
(1)依题意,得 $ y = 200 - 10(x - 8) = 280 - 10x(6 ＜ x \leq 12) $;
(2)依题意,得 $ W = y \cdot (x - 6) = (280 - 10x) \cdot (x - 6) = -10x^{2} + 340x - 1680 $,
令 $ W = 720 $,即 $ -10x^{2} + 340x - 1680 = 720 $,
解得 $ x_{1} = 24 $, $ x_{2} = 10 $,
又
∵销售单价不能超过 12 元,
∴ $ x = 10 $,即销售单价定为 10 元;
(3)由
(2)得 $ W = -10x^{2} + 340x - 1680 = -10(x - 17)^{2} + 1210 $,
∴ $ x = 17 $ 时,可获得最大利润,
又
∵ $ x \leq 12 $,
∴当 $ x = 12 $ 时得最大利润,
$ W_{\text{max}} = -10 × (12 - 17)^{2} + 1210 = 960 $,
答:当 $ x = 12 $ 时,获日销售最大利润 960 元.

4.某商店经营一种小商品,进价为每件20元,据市场分析,在一个月内,售价定为25元时,可卖出105件.经测算,售价每上涨1元,就少卖5件;售价每下降1元,就多卖7件.
(1)当售价定为30元时,一个月可获利多少元?
(2)当售价定为多少元时,一个月的获利最大?最大利润是多少元?

答案： 解:
(1)当售价为 30 元时,上涨了: $ 30 - 25 = 5 $(元),
可卖出: $ 105 - 5 × 5 = 80 $(件),
利润为: $ (30 - 20) × 80 = 800 $(元);
答:当售价定为 30 元时,一个月可获利 800 元;
(2)设售价为 x 元,一个月的获利为 y 元.
①当售价上涨时, $ x ＞ 25 $,
由题意,得 $ y = (x - 20)[105 - 5(x - 25)] = -5(x - 33)^{2} + 845 $.
∵ $ -5 ＜ 0 $, $ x ＞ 25 $,
∴当 $ x = 33 $ 时,y 有最大值,最大值为 845;
②当售价下降时, $ 20 ＜ x ＜ 25 $,
由题意,得 $ y = (x - 20)[105 + 7(25 - x)] = -7(x - 30)^{2} + 700 $.
∵ $ -7 ＜ 0 $,
∴当 $ x ＜ 30 $ 时,y 随 x 的增大而增大.
又
∵ $ 20 ＜ x ＜ 25 $,
∴当 $ x = 25 $ 时,y 有最大值,最大值为 $ -7 × (25 - 30)^{2} + 700 = 525 $.
∵ $ 845 ＞ 525 $,
∴当 $ x = 33 $ 时,y 最大为 845.
答:当售价定为 33 元时,一个月的获利最大,最大利润是 845 元.