《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1.如图，D是BC上的点，$∠ADB=∠BAC$，则下列结论正确的是（B）

A.$△ABC\backsim △DAC$
B.$△ABC\backsim △DBA$
C.$△ABD\backsim △ACD$
D.以上都不正确

答案： B

2.有一个角为$30^{\circ }$的两个直角三角形一定（B）
A.全等
B.相似
C.既不全等又不相似
D.无法确定

答案： B

3.如图，在$△ABC$中，$∠ACB=90^{\circ },CD⊥AB$于点D，则相似三角形共有（C）

A.1对
B.2对
C.3对
D.4对

答案： C

4.如图，$△ABC$和$△DFE$是否相似？说明你的理由。

答案： 解：$\triangle ABC \backsim \triangle DFE$. 理由如下：
$\because \angle A = 55^{\circ}, \angle C = 62^{\circ}$，
$\therefore \angle B = 63^{\circ}$，
$\because \angle C = \angle E, \angle B = \angle F$，
$\therefore \triangle ABC \backsim \triangle DFE$.

5.如图，在$\odot O$中，弦AB，CD交于点P.证明：$△PAD\backsim △PCB.$

答案： 证明：$\because \angle D$ 与 $\angle B$ 都是 $\overset{\frown}{AC}$ 所对的圆周角，
$\therefore \angle D = \angle B$，
又 $\because \angle APD = \angle CPB$，
$\therefore \triangle PAD \backsim \triangle PCB$.

6.如图，已知$∠1=∠2$，那么添加一个条件后，仍无法判定$△ABC\backsim △ADE$的是（B）

A.$∠B=∠D$
B.$\frac {AB}{AD}=\frac {BC}{DE}$
C.$\frac {AB}{AD}=\frac {AC}{AE}$
D.$∠C=∠AED$

答案： B

7.(2025·越秀开学)如图，在矩形ABCD中，点E为边BC上的一点，$DF⊥AE$于点F.
(1)证明：$△ABE\backsim △DFA;$
(2)若$AB=3,BE=4,AD=6$，求DF的长.

答案：
(1) 证明：$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形，
$\therefore BC // AD, \angle B = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle AEB = \angle DAF$，
$\because DF \perp AE$ 于点 $F$，
$\therefore \angle DFA = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle B = \angle DFA$，
$\therefore \triangle ABE \backsim \triangle DFA$；
(2) 解：$\because \angle B = 90^{\circ}, AB = 3, BE = 4$，
$\therefore EA = \sqrt{AB^{2} + BE^{2}} = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5$，
$\because \triangle ABE \backsim \triangle DFA, AD = 6$，
$\therefore \frac{AB}{DF} = \frac{EA}{AD}$，
$\therefore DF = \frac{AB \cdot AD}{EA} = \frac{3 × 6}{5} = \frac{18}{5}$，
$\therefore DF$ 的长是 $\frac{18}{5}$.

8.如图，AB是$\odot O$的直径，点C是$\odot O$上一点，过点C作$\odot O$的切线，交BA的延长线于点D，连接OC，BC.已知$∠D=30^{\circ },OC=1.$
(1)求证：$△BOC\backsim △BCD;$
(2)求$△BCD$的周长.

答案：
(1) 证明：由切线的性质，得 $\angle OCD = 90^{\circ}$.
又 $\because \angle D = 30^{\circ}$，
$\therefore \angle BOC = \angle D + \angle OCD = 30^{\circ} + 90^{\circ} = 120^{\circ}$，
又 $\because OB = OC, \therefore \angle B = \angle OCB = 30^{\circ}$，
$\therefore \angle OCB = \angle D$，
又 $\because \angle B = \angle B, \therefore \triangle BOC \backsim \triangle BCD$；
(2) 解：$\because \angle OCD = 90^{\circ}, \angle D = 30^{\circ}, OC = 1$，
$\therefore OD = 2OC = 2$，
$\therefore CD = \sqrt{OD^{2} - OC^{2}} = \sqrt{2^{2} - 1^{2}} = \sqrt{3}$，
$\therefore DB = OD + OB = 2 + 1 = 3$，
$\because \angle B = \angle D = 30^{\circ}, \therefore BC = CD = \sqrt{3}$，
$\therefore \triangle BCD$ 的周长为 $CD + BC + DB = \sqrt{3} + \sqrt{3} + 3 = 3 + 2\sqrt{3}$.