《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1. 函数$y=-2x$和$y=\frac {1}{x}$在同一坐标系中的图象大致是 (B)

答案： B

2. 已知反比例函数$y=\frac {k}{x}$与一次函数$y=2x+b$的图象都经过点$(1,3)$，求这两个函数的解析式.

答案： 解：
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}$过点$(1,3)$，
∴$3=\frac{k}{1}$，解得$k=3$，
∴反比例函数解析式为$y=\frac{3}{x}$；
∵一次函数$y=2x+b$过点$(1,3)$，
∴$2+b=3$，解得$b=1$，
∴一次函数解析式为$y=2x+1$。

3. 如图，反比例函数$y=\frac {k}{x}$的图象与一次函数$y=x+b$的图象交于点$A(1,4)$，点$B(-4,n)$.
(1) 求一次函数和反比例函数的解析式；
(2) 求$△OAB$的面积.

答案： 解：（1）把点$A(1,4)$的坐标分别代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，一次函数$y=x+b$，
则$\frac{k}{1}=4$，$1+b=4$，解得$k=4$，$b=3$，
∴反比例函数的解析式为$y=\frac{4}{x}$，
一次函数的解析式为$y=x+3$；
（2）在函数$y=x+3$中，当$x=-4$时，$y=-1$，
∴点$B$的坐标为$(-4,-1)$，
设$y=x+3$与$x$轴交于点$C$，当$y=0$时，$x+3=0$，
∴$x=-3$，
∴点$C$的坐标为$(-3,0)$，
∴$S_{\triangle AOB}=S_{\triangle AOC}+S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}×3×4+\frac{1}{2}×3×1=\frac{15}{2}$。

4. 如图，一次函数$y=-x+4$的图象与反比例函数$y=\frac {k}{x}$(k为常数，且$k≠0$)的图象交于$A(1,a)$，B两点.
(1) 求反比例函数的解析式及点B的坐标；
(2) 直接写出不等式$-x+4＞\frac {k}{x}$的解集；
(3) 在x轴上找一点P，使$PA+PB$的值最小，求满足条件的点P的坐标.

答案：
解：（1）
∵点$A(1,a)$是一次函数$y=-x+4$与反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k\neq0$）的交点，
∴$a=-1+4=3$，即点$A$坐标为$(1,3)$，
∴$3=\frac{k}{1}$，即$k=3$，
∴反比例函数的解析式为$y=\frac{3}{x}$；
∴$\begin{cases}y=-x+4\\y=\frac{3}{x}\end{cases}$可得点$A$，$B$坐标分别为$A(1,3)$，$B(3,1)$；
（2）由图象可知，当$1\lt x\lt3$时，直线的图象在曲线的上方，
∴不等式$-x+4\gt\frac{k}{x}$的解集为$1\lt x\lt3$；
（3）如图，找点$B$关于$x$轴的对称点$C$，连接$AC$交$x$轴于点$P$

∵$B(3,1)$，
∴点$C$的坐标为$(3,-1)$。
∵$PC=PB$，$A$，$P$，$C$三点共线，
∴此时$PA+PB$最短，
设直线$AC$的解析式为$y=bx+c$，将$A$，$C$两点代入该解析式，
则有$\begin{cases}3=b+c\\-1=3b+c\end{cases}$解得$\begin{cases}b=-2\\c=5\end{cases}$
故直线$AC$的解析式为$y=-2x+5$，
将$y=0$代入其中，得$x=2.5$，
∴点$P$坐标为$(2.5,0)$。