《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1. 下列函数是二次函数的是 (D)
A. $ y = 2x - 3 $
B. $ y = \frac{8}{x} + 1 $
C. $ y = \frac{3}{x^{2}} - 2 $
D. $ y = -x^{2} $

答案： D

2. 求下列函数中自变量 $ x $ 的取值范围：
(1) $ y = \frac{1}{x + 2} $；
(2) $ y = \sqrt{x - 2} $；
(3) $ y = x(x + 3) $。

答案： 解:
(1) 依题意, 得 $ x + 2 \neq 0 $,
故自变量 $ x $ 的取值范围是 $ x \neq -2 $;
(2) 依题意, 得 $ x - 2 \geq 0 $, 即 $ x \geq 2 $,
故自变量 $ x $ 的取值范围是 $ x \geq 2 $;
(3) 依题意, 得自变量的取值范围是全体实数.

3. 国家决定对某药品分两次降价，若平均每次降价的百分率为 $ x $，该药品的原价为 18 元，降价后的价格为 $ y $ 元，则 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数解析式为 (C)
A. $ y = 36(1 - x) $
B. $ y = 36(1 + x) $
C. $ y = 18(1 - x)^{2} $
D. $ y = 18(1 + x)^{2} $

答案： C

4. 已知二次函数 $ y = 1 - 3x + 5x^{2} $，则其二次项系数 $ a $，一次项系数 $ b $，常数项 $ c $ 分别是 (D)
A. $ a = 1 $，$ b = -3 $，$ c = 5 $
B. $ a = 1 $，$ b = 3 $，$ c = 5 $
C. $ a = 5 $，$ b = 3 $，$ c = 1 $
D. $ a = 5 $，$ b = -3 $，$ c = 1 $

答案： D

5. 已知 $ y = (m - 2)x^{\vert m \vert} + 2 $ 是 $ y $ 关于 $ x $ 的二次函数，则 $ m $ 的值为-2。

答案： -2

6. (循环练) 解方程 $ (x - 2)^{2} + x - 2 = 0 $ 得$ x_1 = 1 $, $ x_2 = 2 $。

答案： $ x_1 = 1 $, $ x_2 = 2 $

7. 如图，一块矩形草地的长为 30 m，宽为 20 m。现计划在中间修筑两条相互垂直的宽为 $ x $ m 的小路。设空余部分的面积为 $ y $ $ m^{2} $，求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数解析式为$ y = x^2 - 50x + 600 $(化为一般式)，自变量 $ x $ 的取值范围为$ 0 ＜ x ＜ 20 $。

答案： $ y = x^2 - 50x + 600 $ $ 0 ＜ x ＜ 20 $

8. 已知函数 $ y = (a^{2} - 9)x^{2} + (a + 3)x + 1 + c $。
(1) 当 $ a $ 为何值时，此函数是关于 $ x $ 的二次函数；
(2) 当 $ a $ 为何值时，此函数是关于 $ x $ 的一次函数。

答案： 解:
(1) 由题意得 $ a^2 - 9 \neq 0 $,
解得 $ a \neq \pm 3 $,
当 $ a \neq \pm 3 $ 时, 此函数是关于 $ x $ 的二次函数;
(2) 由题意得 $ a^2 - 9 = 0 $ 且 $ a + 3 \neq 0 $,
解得 $ a = 3 $,
当 $ a = 3 $ 时, 此函数是关于 $ x $ 的一次函数.

9. 如图所示，在矩形 $ ABCD $ 中，$ AB = 10 $ cm，$ BC = 5 $ cm，点 $ M $ 以 1 cm/s 的速度从点 $ B $ 向点 $ C $ 运动，同时点 $ N $ 以 2 cm/s 的速度从点 $ C $ 向点 $ D $ 运动。设运动 $ t $ s 后，五边形 $ ABMND $ 的面积为 $ S $ $ cm^{2} $，求出 $ S $ 与 $ t $ 之间的函数关系式，并指出自变量 $ t $ 的取值范围。

答案： 解: 由题意, 得 $ BM = t \, \text{cm} $, $ MC = (5 - t) \, \text{cm} $, $ CN = 2t \, \text{cm} $,
$ S = S_{\text{矩形}ABCD} - S_{\triangle MCN} = 10 × 5 - \frac{1}{2}(5 - t) \cdot 2t = t^2 - 5t + 50 $,
$ \because t ＞ 0 $, $ 5 - t ＞ 0 $,
$ \therefore 0 ＜ t ＜ 5 $,
$ \therefore S $ 与 $ t $ 之间的函数关系式为 $ S = t^2 - 5t + 50 $, 自变量 $ t $ 的取值范围为 $ 0 ＜ t ＜ 5 $.