《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1.如图,在$\odot O$中,已知$∠A=30^{\circ }$.
(1)图中的弦有$AB$,劣弧有$ \overset{\frown}{AB} $;
(2)$∠AOB=$$120^{\circ}$.

答案：
(1) $AB$ $ \overset{\frown}{AB} $
(2) $120^{\circ}$

2.如图所示,点C在以AB为直径的半圆O上,$∠BAC=20^{\circ }$,则$∠BOC$的度数是$40^{\circ}$.

答案： $40^{\circ}$

3.下列命题中是真命题的有③④(填序号).
①两个端点能够重合的弧是等弧;
②圆的任意一条弦把圆分成优弧和劣弧两部分;
③直径是最长的弦;
④半圆所对的弦是直径.

答案： ③④ 解析: 能够完全重合的两条弧是等弧, 故①错误; 直径将圆分成两条相等的弧, 故②错误; 直径是圆内最长的弦, 故③正确; 圆的直径将圆分成两个半圆, 所以半圆所对的弦是直径, 故④正确.

4.点A,B是半径为5 cm的$\odot O$上两个不同的点,则弦AB的长的取值范围是 (D)
A.$AB＞0$
B.$0＜AB＜5$
C.$0＜AB＜10$
D.$0＜AB≤10$

答案： D

5.如图,点A,B,C是$\odot O$上的三点,BO平分$∠ABC$.求证:$BA=BC$.

答案：
证明: 如图, 连接 $OA, OC$.
　　　　　　
$ \because OA = OB, OB = OC $,
$ \therefore ∠ABO = ∠BAO $,
$ ∠CBO = ∠BCO $,
$ \because BO $ 平分 $ ∠ABC $,
$ \therefore ∠ABO = ∠CBO $,
$ \therefore ∠BAO = ∠BCO $,
$ \therefore △OAB ≌ △OCB(AAS) $,
$ \therefore BA = BC $.

6.如图,AB,CD为$\odot O$的两条直径,点M,N分别为AO,BO的中点,求证:四边形CMDN为平行四边形.

答案： 证明: $ \because AB $ 是直径, $ OA = OB $, 点 $ M, N $ 分别为 $ AO, BO $ 的中点,
$ \therefore OA = OB, OM = \frac{1}{2}OA, ON = \frac{1}{2}OB $,
$ \therefore OM = ON $,
$ \because OC = OD $,
$ \therefore $ 四边形 $ CMDN $ 为平行四边形.

7.如图,$\odot O$的半径$OA=5$,C是弦AB上一点,且$OC⊥OA,OC=BC$.
(1)求$∠A$的度数;
(2)AB的长为____.

答案：

(1) 解: 如图, 连接 $ OB $.
　　　　　　
$ \because OA = OB, OC = BC $,
$ \therefore ∠A = ∠B = ∠BOC $,
$ \because OC ⊥ OA $,
$ \therefore ∠AOC = 90^{\circ} $,
$ \because ∠A + ∠B + ∠BOC + ∠AOC = 180^{\circ} $,
$ \therefore 3∠A + 90^{\circ} = 180^{\circ} $,
$ \therefore ∠A = 30^{\circ} $.
(2) $ 5\sqrt{3} $.