《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1.已知二次函数图象的顶点坐标是$(2,3)$，且经过点$(-1,0)$，求这个二次函数的解析式。

答案： 解：设该二次函数的解析式为 $ y = a(x - 2)^2 + 3 $，将点 $ (-1, 0) $ 代入得 $ a \cdot (-1 - 2)^2 + 3 = 0 $，解得 $ a = -\frac{1}{3} $，
∴ 二次函数解析式为 $ y = -\frac{1}{3}(x - 2)^2 + 3 $。

2.已知抛物线过点$(2,0)$，$(0,-2)$，$(4,0)$，求此抛物线的解析式。

答案： 解：
∵ 抛物线经过点 $ (2, 0) $，$ (4, 0) $，
∴ 设抛物线的解析式为 $ y = a(x - 2)(x - 4) $，将点 $ (0, -2) $ 代入得 $ a = -\frac{1}{4} $，
∴ 抛物线解析式为 $ y = -\frac{1}{4}(x - 2)(x - 4) = -\frac{1}{4}x^2 + \frac{3}{2}x - 2 $。

3.已知二次函数的图象经过$(0,3)$，且当$x=2$时，$y$的最大值为5，请求出这个二次函数的解析式。

答案： 解：设抛物线的解析式为 $ y = a(x - 2)^2 + 5 $，将点 $ (0, 3) $ 代入得 $ 4a + 5 = 3 $，解得 $ a = -\frac{1}{2} $，
∴ 抛物线的解析式为 $ y = -\frac{1}{2}(x - 2)^2 + 5 $。

4.(循环练)如果$x(x - 1)$与$2(-x + 1)$互为相反数，则$x$的值为1 或 2。

答案： 1 或 2

5.某抛物线的图象如图所示，其中点$A$为顶点。
(1)写出点$A$，$B$的坐标；
(2)求出该抛物线的解析式。

答案： 解：
(1) 点 $ A $，$ B $ 坐标分别为 $ A(2, -4) $，$ B(0, 4) $；
(2) 设该抛物线的解析式为 $ y = a(x - 2)^2 - 4 $，将点 $ B(0, 4) $ 代入得 $ 4a - 4 = 4 $，解得 $ a = 2 $，
∴ 该抛物线的解析式为 $ y = 2(x - 2)^2 - 4 $。

6.已知二次函数的图象如图所示，求这个二次函数的解析式。

答案： 解：
∵ 二次函数的图象经过 $ (1, 0) $，$ (2, 0) $，
∴ 设二次函数的解析式为 $ y = a(x - 1)(x - 2) $，把点 $ (0, 2) $ 代入 $ y = a(x - 1)(x - 2) $，得 $ 2 = 2a $，解得 $ a = 1 $，
∴ 这个二次函数的解析式为 $ y = (x - 1)(x - 2) = x^2 - 3x + 2 $。

7.已知当$x = 2$时，抛物线取得最小值$-3$，且抛物线与$y$轴交于点$C(0,1)$。
(1)求该抛物线的解析式；
(2)抛物线上是否存在点$Q(m,2m^{2} + 8)$，若存在，求出点$Q$的坐标；若不存在，请说明理由。

答案： 解：
(1)
∵ 当 $ x = 2 $ 时，抛物线取得最小值 $ -3 $，
∴ 抛物线的顶点坐标为 $ (2, -3) $，设该抛物线的解析式为 $ y = a(x - 2)^2 - 3 $。
将点 $ C(0, 1) $ 代入上式，得 $ a \cdot (0 - 2)^2 - 3 = 1 $。解得 $ a = 1 $，
∴ 该抛物线的解析式为 $ y = (x - 2)^2 - 3 $；
(2) 不存在。理由如下：
假设存在点 $ Q(m, 2m^2 + 8) $ 在该抛物线上，则 $ (m - 2)^2 - 3 = 2m^2 + 8 $，整理，得 $ m^2 + 4m + 7 = 0 $，
∵ $ \Delta = 4^2 - 4 × 1 × 7 = -12 ＜ 0 $，
∴ 该方程无实数根，
∴ 不存在这样的点 $ Q $。