《2025年正大图书练测考八年级数学下册鲁教版》

18. 甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工6米. 已知甲、乙每天施工所需成本共108万元. 因地质情况不同，甲每合格完成1米桥梁施工成本比乙每合格完成1米的桥梁施工成本多2万元.
（1）分别求出甲、乙每合格完成1米的桥梁施工成本；
（2）实际施工开始后，甲每合格完成1米桥梁施工成本增加$\frac{1}{6}a$万元，且每天多施工$\frac{1}{4}a$. 乙每合格完成1米桥梁施工成本增加$\frac{1}{3}a$万元，且每天多施工$\frac{1}{8}a$米. 若最终每天实际总成本比计划多$(24+\frac{11}{2}a)$万元，求$a$的值.

答案： 解：
(1)设乙每合格完成 1 米的桥梁施工成本为$x$万元，则甲每合格完成 1 米的桥梁施工成本为$(x + 2)$万元，
$\therefore6x+6(x + 2)=108$，解得$x = 8,x + 2=10$，
$\therefore$甲每合格完成 1 米的桥梁施工成本为 10 万元，乙每合格完成 1 米的桥梁施工成本为 8 万元.
(2)由
(1)可知，甲每合格完成 1 米桥梁施工成本为 10 万元，乙每合格完成 1 米的桥梁施工成本为 8 万元.
$\because$实际施工开始后，甲每合格完成 1 米桥梁施工成本增加$\frac{1}{6}a$万元，且每天多施工$\frac{1}{24}a$，$\therefore$甲每合格完成 1 米实际成本为$(10+\frac{1}{6}a)$万元，甲每天实际完成量为$6\times(1+\frac{1}{24}a)=(6+\frac{1}{4}a)$米.$\because$乙每合格完成 1 米桥梁施工成本增加$\frac{1}{3}a$万元，且每天多施工$\frac{1}{8}a$米，$\therefore$乙每合格完成 1 米实际成本为$(8+\frac{1}{3}a)$万元，乙每天实际完成量为$(6+\frac{1}{8}a)$米.$\because$每天实际总成本比计划多$(24+\frac{1}{2}a)$万元，$\therefore$最终每天的实际总成本为$108+(24+\frac{1}{2}a)=(132+\frac{1}{2}a)$万元，$\therefore(10+\frac{1}{6}a)\times(6+\frac{1}{4}a)+(8+\frac{1}{3}a)\times(6+\frac{1}{8}a)=132+\frac{1}{2}a$，整理，得$a^2+12a - 288=0$，解得，$a_1 = 12,a_2=-24$(不符合题意，舍去)，$\therefore a$的值为 12.

19. 阅读材料：200多年前，数学王子高斯用他独特的方法快速计算出$1 + 2 + 3+\cdots+100$的值. 我们从这个算法中受到启发，用下面方法计算数列$1$，$2$，$3$，$\cdots$，$n$，$\cdots$的前$n$项和.
由$\frac{\begin{matrix}1&+&2&+\cdots&+&n - 1&+&n\\n&+&n - 1&+\cdots&+&2&+&1\end{matrix}}{(n + 1)+(n + 1)+\cdots+(n + 1)+(n + 1)}$可知$1 + 2 + 3+\cdots+n=\frac{(n + 1)\times n}{2}$.
应用以上材料解决下面问题：
（1）有一个三角点阵（如图），从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，$\cdots$，第$n$行有$n$个点，$\cdots$. 若该三角点阵前$n$行的点数和为325，求$n$的值；

（2）在第一问的三角点阵图形中，前$n$行的点数和能是900吗？如果能，求出$n$；如果不能，说明理由；
（3）如果把上图中的三角点阵中各行的点数依次换为$3$，$6$，$9$，$\cdots$，$3n$，$\cdots$，前$n$行的点数和能是900吗？如果能，求出$n$；如果不能，说明理由.

答案： 解：
(1)根据题意，得$1 + 2+3+\cdots+n=\frac{(n + 1)\times n}{2}=325$，
即$n^2+n - 650=0$，
解得$n_1 = 25,n_2=-26$(舍去)，
$\therefore n$的值为 25.
(2)不能，理由：
由$1 + 2+3+\cdots+n=\frac{(n + 1)\times n}{2}=900$，
得$n^2+n - 1800=0$，
$\therefore\Delta=1+4\times1800=7201\gt0$，
$\therefore n=\frac{-1\pm\sqrt{7201}}{2}$.
$\because n$为正整数，$\sqrt{7201}$是无理数，
$\therefore$不存在$n$的值，使前$n$行的点数和是 900.
即在第一问的三角点阵图形中，前$n$行的点数和不能是 900.
(3)能.
由$3 + 6+9+\cdots+3n=900$，得$3(1 + 2+3+\cdots+n)=900$，
$\therefore1 + 2+3+\cdots+n=\frac{(n + 1)\times n}{2}=300$，
$\therefore n^2+n - 600=0$，
解得$n_1 = 24,n_2=-25$(舍去)，
$\therefore$当$n = 24$时，前$n$行的点数和是 900.