《2025年正大图书练测考八年级数学下册鲁教版》

14. 如图，正方形ABCD中，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF = AE.
（1）求证：BF = DE；
（2）当点E运动到AC的中点时（其他条件都保持不变），问：四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由.

答案：
(1) 证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB = AD，∠BAD = 90°.
∵AF⊥AC，
∴∠EAF = 90°，
∴∠BAF = ∠EAD.
在△ADE和△ABF中，$\begin{cases}AD = AB \\∠DAE = ∠BAF \\AE = AF\end{cases}$，
∴△ADE≌△ABF(SAS)，
∴BF = DE.
(2) 解：当点E运动到AC的中点时，四边形AFBE是正方形.
理由：
∵点E运动到AC的中点，AB = BC，
∴BE⊥AC，BE = AE = $\frac{1}{2}$AC.
∵AF = AE，
∴BE = AF = AE.
又
∵BE⊥AC，
∴∠BEC = 90° = ∠FAE，
∴BE//AF.
∵BE = AF，
∴四边形AFBE是平行四边形.
∵∠FAE = 90°，AF = AE，
∴四边形AFBE是正方形.

15. 如图1，点E，F，M，N分别是正方形纸片ABCD四条边上的点，且AE = BF = CM = DN.
（1）求证：四边形EFMN是正方形；
（2）把图1中的四个直角三角形剪下来，拼成图2所示的“赵爽弦图”（由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形）. 我们知道，勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请结合图2，利用所学知识证明勾股定理，写出推导过程；
（3）若正方形纸片ABCD的边长为4，EN = $\sqrt{10}$，求图2中中间小正方形的面积.

答案：
(1) 证明：如图1.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB = BC = CD = DA，∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°.
∵AE = BF = CM = DN，
∴AN = DM = CF = BE.
∵∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°，
∴△AEN≌△DNM≌△CMF≌△BFE(SAS)，
∴EN = NM = MF = EF，∠ENA = ∠DMN，
∴四边形EFMN是菱形.
∵∠ENA = ∠DMN，∠DMN + ∠DNM = 90°，
∴∠ENA + ∠DNM = 90°，
∴∠ENM = 90°，
∴四边形EFMN是正方形.
(2) 解：如图2，
由
(1)，可知EF = FM = MN = NE，EH = FG = MR = NQ，EQ = FH = MG = NR.
设正方形EFMN的边长EF = FM = MN = NE = c，EH = FG = MR = NQ = b，EQ = FH = MG = NR = a，
则小正方形QHGR的边长QH = b - a，
∴小正方形QHGR的面积为(b - a)² = a² + b² - 2ab，
∴正方形EFMN的面积为c²，正方形EFMN的面积 = $\frac{1}{2}$ab×4 + (b - a)² = a² + b²，
∴a² + b² = c².
(3) 解：
∵正方形ABCD的边长为4，
∴a + b = 4，
∴a² + b² + 2ab = 16，
∴2ab = 16 - (a² + b²) = 6，
∴中间小正方形的面积为10 - 6 = 4.