《2025年正大图书练测考八年级数学下册鲁教版》

13. 已知$x_{1}$，$x_{2}$是关于$x$的方程$x^{2}-2kx + k^{2}-k + 1 = 0$的两个不相等的实数根.
（1）求$k$的取值范围；
（2）若$k＜5$，且$k$，$x_{1}$，$x_{2}$都是整数，求$k$的值.

答案： 解:
(1)
∵x1,x2是关于x的方程x²−2kx+k²−k+1=0 的两个不相等的实数根，
　
∴△＞0,
　　即△=(−2k)²−4×1×(k²−k+1)=4k²−4k²+4k−4=4k−4＞0,
　解得k＞1.
(2)
∵k＜5,由
(1),得k＞1,
∴1＜k＜5,
∴整数k的值有2,3,4.
　当k=2时,方程为x²−4x+3=0,
　解得x1=1,x2=3(都是整数,此情况符合题意);
　当k=3时,方程为x²−6x+7=0,
　解得x=3±　$\sqrt{2}$(不是整数，此情况不符合题意);
　当k=4时,方程为x²−8x+13=0,
　解得x=4±$\sqrt{3}$(不是整数，此情况不符合题意).
　综上所述，k的值为2.

14. 若等腰三角形的一边长为4，另两边长是关于$x$的一元二次方程$x^{2}-(m + 3)x + 3m = 0$的两根，求$m$的值.

答案： 解:当腰长为4时，
　把x=4代入x²−(m+3)x+3m=0,
　得16−4m−12+3m=0,解得m=4.
　当m=4时,方程为x²−7x+12=0,解得x1=4,x2=3,此时三边长为4,4,3,能构成等腰三角形.
∴m=4成立,
　当底长为4时，
　则方程x²−(m+3)x+3m=0有两个相等的实数根，
∴△=0,即(m−3)²=0,
∴m=3.
　当m=3时,方程为x²−6x+9=0,解得x1=x2=3.
　此时三边长为3,3,4，能构成等腰三角形.
∴m=3成立.
　综上所述，m的值为4或3.

15. 若关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$的根均为整数，则称方程为“快乐方程”. 通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式$b^{2}-4ac$一定为完全平方数. 现规定$F(a,b,c)=\frac{4ac - b^{2}}{4a}$为该“快乐方程”的“快乐数”. 例如“快乐方程”$x^{2}-3x - 4 = 0$的两根均为整数，其“快乐数”$F(1,-3,-4)=\frac{4\times1\times(-4)-(-3)^{2}}{4\times1}=-\frac{25}{4}$，若有另一个“快乐方程”$px^{2}+qx + r = 0(p\neq0)$的“快乐数”$F(p,q,r)$，且满足$r\cdot F(a,b,c)=c\cdot F(p,q,r)$，则称$F(a,b,c)$与$F(p,q,r)$互为“开心数”.
（1）“快乐方程”$x^{2}-2x - 3 = 0$的“快乐数”为________；
（2）若关于$x$的一元二次方程$x^{2}-(2m - 1)x + m^{2}-2m - 3 = 0(m$为整数，且$1 ＜ m ＜ 6)$是“快乐方程”，求$m$的值，并求该方程的“快乐数”；
（3）若关于$x$的一元二次方程$x^{2}-mx + m + 1 = 0$与$x^{2}-(n + 2)x + 2n = 0(m,n$均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求$n$的值.

答案： 解:
(1)“快乐方程”x²−2x−3=0的“快乐数为F(1,−2,−3)=$\frac{4×1×(−3)−(−2)²}{4×1}$=−4.
　答案:−4
(2)
∵一元二次方程x²−(2m−1)x+m²−2m−3=0,
∴△=b²−4ac=4m+13.
∵1＜m＜6,
∴17＜4m+13＜37.
　又方程x²−(2m−1)x+m²−2m−3=0是“快乐方程”,且m为整数.
∴4m+13=25或36,
∴m=3或m=$\frac{23}{4}$(舍去)，
∴方程为x²−5x=0,
　则F(1,−5,0)=$\frac{4×1×0−(−5)²}{4×1}$=−$\frac{25}{4}$,
　故其“快乐数”数是一$\frac{25}{4}$.
(3)
∵关于x的一元二次方程x²−mx+m+1=0,
∴△=(−m)²−4(m+1)=(m−2)²−8.
　设△=a²,则(m−2+a)(m−2−a)=8.
　又m−2+a与m−2−a同奇偶，
∴{mm−−22+−aa==42,或{mm−−22+−aa==24,或{mm−−22−+aa==−−42,或{mm−−22+−aa==−−42,,解得m=5或−1,
∴方程为x²−5x+6=0或x²+x=0;
∵关于x的一元二次方程x²−(n+2)x+2n=0,
∴A=(n−2)²,
∴“快乐数”为　F(1,−n−2,2n)=
　$\frac{4×1×2n−(−n−2)²}{4×1}$=−$\frac{(n−2)²}{4}$.
　当m=5时,x²−mx+m+1=0的“快乐数”为F(1,−5,6)=$\frac{4×1×6−(−5)²}{4×1}$=−$\frac{1}{4}$.
∵两方程的“快乐数”互为“开心数”,
∴|−$\frac{1}{4}$×2n−6×[|$\frac{(n−2)²}{4}${|=0,解得n=3或$\frac{4}{3}$,当m=−1时,x²−mx+m+1=0的“快乐数”为F(1,1,0)=$\frac{4×1×0−1²}{4×1}$=−$\frac{1}{4}$.
∵两方程的“快乐数”互为“开心数”,
∴|一$\frac{1}{4}$×2n−0×[−$\frac{(n−2)²}{4}$|=0,解得n=0,
　综上,n的值为0或3或$\frac{4}{3}$