《2025年正大图书练测考八年级数学下册鲁教版》

13. 化简$(x - 1-\frac{8}{x + 1})\div\frac{x + 3}{x + 1}$，将$x = 3-\sqrt{2}$代入求值.

答案： 解：原式$=\frac{x^{2}-1 - 8}{x + 1}\cdot\frac{x + 1}{x + 3}=x - 3$.
当$x = 3-\sqrt{2}$时，原式$=3-\sqrt{2}-3=-\sqrt{2}$.

14.（2024·威海经济技术开发区期中）如图，正方形$ABCD$的面积为8，正方形$ECFG$的面积为32.
（1）求正方形$ABCD$和正方形$ECFG$的边长；
（2）求阴影部分的面积.

答案： 解：
(1)$\because$正方形$ABCD$的面积为 8，正方形$ECFG$的面积为 32，
$\therefore$正方形$ABCD$的边长为$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，正方形$ECFG$的边长为$\sqrt{32}=4\sqrt{2}$.
(2)阴影部分的面积为：
$S_{阴影}=S_{正方形ABCD}+S_{正方形ECFG}-S_{\triangle ABD}-S_{\triangle BGF}$
$=8 + 32-\frac{1}{2}\times2\sqrt{2}\times2\sqrt{2}-\frac{1}{2}\times4\sqrt{2}\times(2\sqrt{2}+4\sqrt{2})$
$=12$.

15. [应用意识]王老师在小结时总结了这样一句话：“对于任意两个正整数$a,b$，如果$a\gt b$，那么$\sqrt{a}\gt\sqrt{b}$.”然后讲解了下面一道例题：
比较$\frac{1}{5}\sqrt{200}$和$2\sqrt{3}$的大小.
方法一：$\frac{1}{5}\sqrt{200}=\sqrt{\frac{1}{25}\times200}=\sqrt{8}$，
$2\sqrt{3}=\sqrt{4\times3}=\sqrt{12}$，
因为$8\lt12$，所以$\sqrt{8}\lt\sqrt{12}$，即$\frac{1}{5}\sqrt{200}\lt2\sqrt{3}$.
方法二：$(\frac{1}{5}\sqrt{200})^{2}=\frac{1}{25}\times200=8$，
$(2\sqrt{3})^{2}=4\times3=12$，
因为$8\lt12$，所以$\frac{1}{5}\sqrt{200}\lt2\sqrt{3}$.
参考上面例题的解法，解答下列问题：
（1）比较$-5\sqrt{6}$与$-6\sqrt{5}$的大小；
（2）比较$\sqrt{7}+1$与$\sqrt{5}+\sqrt{3}$的大小.

答案： 解：
(1)$-5\sqrt{6}=-\sqrt{25\times6}=-\sqrt{150}$，
$-6\sqrt{5}=-\sqrt{36\times5}=-\sqrt{180}$，
$\because150\lt180$，$\therefore\sqrt{150}\lt\sqrt{180}$，
$\therefore-\sqrt{150}\gt-\sqrt{180}$，即$-5\sqrt{6}\gt-6\sqrt{5}$.
(2)$(\sqrt{7}+1)^{2}=8 + 2\sqrt{7}$，
$(\sqrt{5}+\sqrt{3})^{2}=8 + 2\sqrt{15}$，
$\because2\sqrt{7}\lt2\sqrt{15}$，$\therefore8 + 2\sqrt{7}\lt8 + 2\sqrt{15}$，
即$(\sqrt{7}+1)^{2}\lt(\sqrt{5}+\sqrt{3})^{2}$.
又$\because\sqrt{7}+1\gt0$，$\sqrt{5}+\sqrt{3}\gt0$，
$\therefore\sqrt{7}+1\lt\sqrt{5}+\sqrt{3}$.