《2025年正大图书练测考八年级数学下册鲁教版》

12. [新定义]规定：在实数范围内定义一种运算“◎”，其规则为$a◎b=a(a + b)$，方程$(x - 2)◎7 = 0$的根为________.

答案： $x_{1}=2,x_{2}=-5$ 解析：由题意，得$(x - 2)(x + 2 + 7)=0$，
即$(x - 2)(x + 5)=0$，则$x - 2 = 0$或$x + 5 = 0$，解得$x_{1}=2,x_{2}=-5$.

13. 已知方程$2x^{2}+bx + c = 0$的两根为2和- 2，分解因式$2x^{2}+bx + c=$________.

答案： $2(x + 2)(x - 2)$

14. 用适当的方法解下列方程：
(1)$(x - 1)(x + 3)=12$；
(2)$(2x + 3)^{2}=(3x + 2)^{2}$；
(3)$3(x - 2)^{2}=x^{2}-4$.

答案： 解：
(1)$x^{2}+2x - 15 = 0$.
$(x + 5)(x - 3)=0$，
$\therefore x + 5 = 0$或$x - 3 = 0$，
$\therefore x_{1}=-5,x_{2}=3$.
(2)$2x + 3 = 3x + 2$或$2x + 3=-3x - 2$，
$\therefore x_{1}=1,x_{2}=-1$.
(3)$3(x - 2)^{2}-(x + 2)(x - 2)=0$.
$(x - 2)[3(x - 2)-(x + 2)]=0$，
$\therefore x - 2 = 0$或$3(x - 2)-(x + 2)=0$，
$\therefore x_{1}=2,x_{2}=4$.

15. [运算能力]已知关于$y$的一元二次方程$(m + 1)y^{2}-3my - 9 = 0$的根都是整数，且$m$满足等式$\sqrt{(1 - m)^{2}}=(\sqrt{1 - m})^{2}$，求满足条件的所有整数$m$的和.

答案： 解：$\because m$满足等式$\sqrt{(1 - m)^{2}}=(\sqrt{1 - m})^{2}$，
$\therefore 1 - m\geqslant0$，解得$m\leqslant1$.
$\because(m + 1)y^{2}-3my - 9 = 0$，$\therefore(y - 3)[(m + 1)y + 3]=0$，
解得$y_{1}=3,y_{2}=-\frac{3}{m + 1}$.
$\because$关于$y$的一元二次方程$(m + 1)y^{2}-3my - 9 = 0$的根都是整数，且$m\leqslant1$，$\therefore m = 0,-2,-4$，$\therefore$满足条件的所有整数$m$的和是$0 - 2 - 4=-6$.

16. 由多项式乘法:$(x + a)(x + b)=x^{2}+(a + b)x + ab$，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式:$x^{2}+(a + b)x + ab=(x + a)(x + b)$.
示例：
因式分解:$x^{2}+5x + 6=x^{2}+(2 + 3)x + 2×3=(x + 2)(x + 3)$.
尝试：
(1)因式分解:$x^{2}+6x + 8=(x + ________)·(x + ________)$；
应用：
(2)请用上述方法解方程:$x^{2}-3x - 4 = 0$.

答案： 解：
(1)$x^{2}+6x + 8=x^{2}+(2 + 4)x + 2\times4=(x + 2)(x + 4)$.
答案：2 4
(2)$x^{2}-3x - 4 = 0$，
$\therefore(x + 1)(x - 4)=0$，
$\therefore x + 1 = 0$或$x - 4 = 0$，
$\therefore x_{1}=-1,x_{2}=4$.