《2025年正大图书练测考八年级数学下册鲁教版》

8. (2024·潍坊)如图，在矩形ABCD中，AB＞2AD，点E，F分别在边AB，CD上. 将△ADF沿AF折叠，点D的对应点G恰好落在对角线AC上；将△CBE沿CE折叠，点B的对应点H恰好也落在对角线AC上. 连接GE，FH. 求证：
(1)△AEH≌△CFG；
(2)四边形EGFH为平行四边形.

答案： 8.证明:
(1)
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC,∠B=∠D=90°,AB//CD,
∴∠EAH=∠FCG.
　由折叠可得AG=AD,CH=CB,∠CHE=∠B=90°,∠AGF=∠D=90°,
∴CH=AG,∠AHE=∠CGF=90°,
∴AH=CG.
　在△AEH和△CFG中，
　　∠EAH=∠FCG,
　{AH=CG,
　　∠AHE=∠CGF=90°,
∴△AEH≌△CFG(ASA).
(2)由
(1)知∠AHE=∠CGF=90°,△AEH≌△CFG,
∴EH//FG,EH=FG,
∴四边形EGFH为平行四边形.

9. 如图，在边长为5的菱形ABCD中，对角线BD = 8，点O是直线BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F.
(1)对角线AC的长是 ________，菱形ABCD的面积是 ________；
(2)如图1，当点O在对角线BD上运动时，OE + OF的值是否发生变化？请说明理由；
(3)如图2，当点O在对角线BD的延长线上时，OE + OF的值是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请直接写出OE，OF之间的数量关系，不用说明理由.

答案：
9.解:
(1)如图1,连接AC与BD相交于点G，
　在菱形ABCD中,AC⊥BD,BG=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$×8=4,
　由勾股定理,得AG=　$\sqrt{AB²−BG²}$=　$\sqrt{52−4²}$=3,
∴AC=2AG=2×3=6,
∴菱形ABCD的面积=$\frac{1}{2}$AC.BD=$\frac{1}{2}$×6×8=24.
　答案:6　24
　　　
(2)OE+OF的值不变，理由如下:
　如图1,连接AO,则S△ABD=S△ABO十S△ADO,
∴$\frac{1}{2}$BD.AG=$\frac{1}{2}$AB.OE+$\frac{1}{2}$AD.OF,
　即$\frac{1}{2}$×8×3=$\frac{1}{2}$×5.OE+$\frac{1}{2}$×5.OF,
　解得OE+OF=4.8是定值,不变.
(3)如图2,连接AO,连接AC交BD于点G，
　则S△ABD=S△ABO−S△ADO,
∴$\frac{1}{2}$BD.AG=$\frac{1}{2}$AB.OE−$\frac{1}{2}$AD.OF,
　即$\frac{1}{2}$×8×3=$\frac{1}{2}$×5.OE−$\frac{1}{2}$×5.OF,
　解得OE−OF=4.8,
∴OE十OF的值变化,OE,OF之间的数量关系为OE一OF=4.8.