《2025年正大图书练测考八年级数学下册鲁教版》

9. 如图，在菱形$ABCD$中，点$O$是对角线$AC$，$BD$的交点，点$E$是$BC$边延长线上一点，且$BD\perp DE$.
(1)若$\angle ABC = 60^{\circ}$，求证：四边形$ACED$是菱形；
(2)若$AC = 3$，$BD = 4$，求$\triangle DCE$的周长.

答案：
(1)证明:在菱形ABCD中,AC⊥BD,AD//BC,
∴AD//CE.
∵BD⊥DE,
∴AC/DE.
∴四边形ACED是平行四边形.
∵∠ABC=60°,BD是菱形ABCD的对角线，
∴∠CBD=30°,∠BDC=30°,
∴∠DCE=60°.
　又BD⊥DE,
∴∠CDE=60°,则△CDE是等边三角形
∴CE=DE,
∴平行四边形ACED是菱形.
(2)解:由
(1)知四边形ACED是菱形，
∴AC=DE=3.
∵BD=4,BD⊥DE,
∴由勾股定理,得BE=5.
　又
∵在菱形ABCD中,BC=CD,
∴△DCE的周长为DC+CE+DE=BC+CE+DE=
BE+DE=5+3=8.

10. 菱形$ABCD$中，$\angle B = 60^{\circ}$，点$E$在边$BC$上，点$F$在边$CD$上.
(1)如图1，若$E$在边$BC$上，且$E$为$BC$的中点，$\angle AEF = 60^{\circ}$，求证：$BE = DF$；
(2)如图2，若$\angle EAF = 60^{\circ}$，求证：$\triangle AEF$是等边三角形.

答案：
证明:
(1)如图1,连接AC.
　
∵在菱形ABCD中,∠B=60°,
　
∴AB=BC=CD,∠BCD=180°−∠B=120°,
　
∴△ABC是等边三角形
　
∵E是BC的中点，
∴AE⊥BC.
　
∵∠AEF=60°,
∴∠FEC=90°−∠AEF=30°,
　
∴∠CFE=180°−∠FEC−∠ECF=180°−30°−120°=30°,
　
∴∠FEC=∠CFE,
∴EC=CF,
∴BE=DF.
　　　　　
(2)如图2,连接AC.
　　由
(1)知,△ABC是等边三角形,∠BCD=120°,
　
∴AB=AC,∠ACB=60°,
∴∠B=∠ACF=60°.
　
∵AD//BC,
　
∴∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD,∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD,
　
∴∠AEB=∠AFC.
　　　　　　　　　　　　∠AEB=∠AFC,
　　在△ABE和△ACF中，{∠B=∠ACF,
AB=AC,
　
∴△ABE△ACF(AAS),
∴AE=AF.
　
∵∠EAF=60°,
∴△AEF是等边三角形.