《2025年正大图书练测考八年级数学下册鲁教版》

8. 已知代数式$7x(x + 5)$与代数式$-6x^{2}-37x - 9$的值互为相反数，则$x =$______.

答案： 1±$\sqrt{10}$

9. [教材P64例2变式]解下列方程：
（1）$(x - 3)(x - 2)=4$；
（2）$3x^{2}+1 = 2\sqrt{3}x$.

答案： 解:
(1)原方程整理,得x²−5x+2=0.
　这里a=1,b=−5,c=2.
∵b²−4ac=17＞0,
∴x1=$\frac{5+\sqrt{17}}{2}$,x2=$\frac{5−\sqrt{17}}{2}$.
(2)原方程整理,得3x²−2$\sqrt{3}$x+1=0.
　这里a=3,b=−2$\sqrt{3}$,c=1.
∵b²−4ac=0,
∴x1=x2=$\frac{\sqrt{3}}{3}$.

10. 如图是一个正方体的展开图. 标注了字母A的面是正方体的正面，如果正方体的左面和右面所标注代数式的值相等，求x的值.

答案： 解:由题意，得x²=3x−1,即x²−3x+1=0,
　
∴x=3±2√5,即x1=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$,x2=$\frac{3−\sqrt{5}}{2}$.

11. 已知a，b，c为实数，且$\sqrt{a^{2}-3a + 2}+\vert b + 1\vert+(c + 3)^{2}=0$，求方程$ax^{2}+bx + c = 0$的根.

答案： 解:
∵　$\sqrt{a²−3a+2}$+｜b+1|+(c+3)²=0,
　
∴a²−3a+2=0,b+1=0,c+3=0,
　解得a=1或a=2,b=−1,c=−3.
　　当a=1,b=−1,c=−3时,
　原方程为x²−x−3=0,
　
∴b²−4ac=1+12=13＞0,
∴x=$\frac{1±\sqrt{13}}{2}$,
　
∴x1=$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$,x2=$\frac{1−\sqrt{13}}{2}$;
　　当a=2,b=−1,c=−3时,
　原方程为2x²−x−3=0,
　
∴b²−4ac=(−1)²−4×2×(−3)=25＞0,
∴x=$\frac{1±\sqrt{25}}{2×2}$,
∴x3=$\frac{3}{2}$,x4=−1.
∴方程ax²+bx+c=0的根为x1=$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$,x2=
　$\frac{1−\sqrt{13}}{2}$或x3=$\frac{3}{2}$,x4=−1.

12. [运算能力]一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$（$a\neq0$）的两根为$x_{1}$，$x_{2}$，根据一元二次方程的解的概念知：$ax^{2}+bx + c=a(x - x_{1})\cdot(x - x_{2})=0$，即$ax^{2}+bx + c=a(x - x_{1})\cdot(x - x_{2})$，这样我们可以在实数范围内分解因式.
例：分解因式：$2x^{2}+2x - 1$.
解：$\because2x^{2}+2x - 1 = 0$的根为$x=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{4}$，
即$x_{1}=\frac{-1+\sqrt{3}}{2}$，$x_{2}=\frac{-1-\sqrt{3}}{2}$，
$\therefore2x^{2}+2x - 1 = 2(x-\frac{-1+\sqrt{3}}{2})\cdot(x-\frac{-1-\sqrt{3}}{2})=2(x-\frac{\sqrt{3}-1}{2})(x+\frac{\sqrt{3}+1}{2})$.
试仿照上例在实数范围内分解因式：$3x^{2}-5x + 1$.

答案： 解:
∵3x²−5x+1=0的根为x=$\frac{5±\sqrt{13}}{6}$,
　即x1=$\frac{5+\sqrt{13}}{6}$,x2=$\frac{5−\sqrt{13}}{6}$,
∴3x²−5x+1=3(x−$\frac{5+\sqrt{13}}{6}${(x−$\frac{5−\sqrt{13}}{6}$.