《2025年正大图书练测考八年级数学下册鲁教版》

6. 如图，在等腰△ABC中，∠B = 90°，AB = BC = 8 cm，动点P从点A出发沿AB向点B移动，作PQ//AC，PR//BC，当□PQCR的面积为△ABC面积的一半时，点P移动的路程为

A. 3 cm
B. 4 cm
C. 5 cm
D. 6 cm

答案： 6.B解析:设AP=xcm,则PB=(8−x)cm.
∵∠B=90°,AB=BC=8cm,
∴∠A=45°.
∵PR//BC,
∴∠APR=90°,...PR=PA=xcm.
∵▱PQCR的面积为△ABC面积的一半，
∴x.(8−x)=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×8×8,解得x1=x2=4,
∴点P移动的路程为4cm.故选B.

7. 如图1，矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，PA - PE = y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为


A. 4
B. 5
C. 6
D. 7

答案： 7.C解析:由题图2,可知当点P位于点B时,PA−PE=1,即AB−BE=1,
∴BA=BE+1.
　当点P位于点E时,PA−PE=5,即AE−0=5,
∴AE=5.
∵在矩形ABCD中,∠B=90°,
∴AB²+BE²=AE²,
∴(BE+1)²+BE²=AE²=5²,即BE²+BE−12=0,
∵BE＞0,
∴BE=3.
∵点E为BC的中点,
∴BC=6.故选C.

8. [教材P79习题8.14T2变式]如图，在△ABC中，∠B = 90°，AB = 6 cm，BC = 3 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以2 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以1 cm/s的速度移动，如果P，Q两点同时出发，______s后△APQ是等腰三角形.

答案： 8.12−6$\sqrt{3}$

9. 如图，菱形ABCD中，AC，BD交于点O，AC = 8 cm，BD = 6 cm，动点M从A出发沿AC方向以每秒2 cm匀速直线运动到C，动点N从B出发沿BD方向以每秒1 cm匀速直线运动到D，若M，N同时出发，出发后______s时，△MON的面积为菱形ABCD面积的$\frac{1}{12}$.

答案： 9.1或4　解析:设出发后x秒时,S△MON=$\frac{1}{12}$S菱形ABCD，则
AM=2x,BN=x.
∵四边形ABCD是菱形,AC=8,BD=6,
∴OA=4,OB=3,AC⊥BD,S菱形ABCD=$\frac{1}{2}$AC.BD=$\frac{1}{2}$×8×6=24,
∴SMON=$\frac{1}{2}$OM.ON=$\frac{1}{12}$S菱形ABCD=2.
当x＜2时，点M在线段AO上，点N在线段BO上.
　此时OM=OA−AM=4−2x,ON=OB−BN=3−x，则$\frac{1}{2}$(4−2x)(3−x)=2,解得x1=1,x2=4(舍去);
　当2＜x＜3时，点M在线段OC上，点N在线段BO上，此时OM=AM−OA=2x−4,ON=OB−BN=3−x,则$\frac{1}{2}$(2x−4)(3−x)=2,化简为x²−5x+8=0,
　此时方程△＜0，原方程无实数解;
　当x＞3时，点M在线段OC上，点N在线段OD上，
　此时OM=AM−OA=2x−4,ON=BN−OB=x−3,
　则$\frac{1}{2}$(2x−4)(x−3)=2,解得x1=1(舍去),x2=4.
　综上所述，出发后1s或4s时,SMON=$\frac{1}{12}$S菱形ABCD.

10. 如图所示，△ABC中，∠B = 90°，AB = 6 cm，BC = 8 cm.
(1)点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，点P和点Q间的距离是6 cm？
(2)点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动. 如果P，Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能，说明理由；
(3)若点P沿射线AB方向从点A出发以1 cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从点C出发以2 cm/s的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1 cm²？

答案： 10.解:
(1)设经过x秒，点P和点Q间的距离是6cm,依题意,得(6−x)²+(2x)²=6²,解得x1=0,x2=2.4,
　经检验，x2=2.4符合题意.
　故经过2.4秒，点P和点Q间的距离是6cm.
(2)不能.理由如下:设经过y秒，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分，依题意，得
　△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×6×8=24(cm²),
∴△BPQ的面积=$\frac{1}{2}$(6−y)×2y=$\frac{1}{2}$×24,
　即y²−6y+12=0.
∵△=b²−4ac=36−4×12=−12＜0,
∴此方程无实数根，
∴线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分.
(3)①设经过m秒，点P在线段AB上，点Q在线段CB 上(0＜m≤4),
　依题意，有$\frac{1}{2}$(6−m)(8−2m)=1,
　即m²−10m+23=0,解得m1=5+$\sqrt{2}$,m2=5|　　$\sqrt{2}$,
　经检验,m1=5+　$\sqrt{2}$不符合题意，舍去，
∴m=5−$\sqrt{2}$
　②设经过n秒，点P在线段AB上，点Q在线段CB的延长线上(4＜n≤6),依题意，有$\frac{1}{2}$(6−n)(2n−8)=1,
　即n²−10n+25=0,解得n1=n2=5,
　经检验,n=5符合题意.
　③设经过k秒，点P在线段AB的延长线上，点Q在线段
CB的延长线上(k＞6),
　依题意，有$\frac{1}{2}$(k−6)(2k−8)=1,
　即k²−10k+23=0,解得k1=5+　　$\sqrt{2}$,k2=5−$\sqrt{2}$,
　经检验,k1=5−$\sqrt{2}$不符合题意，舍去，
∴k=5+　　$\sqrt{2}$.
　综上所述，经过(5|　$\sqrt{2}$)秒或5秒或(5+$\sqrt{2}$)秒后，△PBQ 的面积为1cm².