《2025年正大图书练测考八年级数学下册鲁教版》

6.（2024·济南长清区期中）如图，AC是矩形ABCD的对角线，分别以点A，C为圆心，以大于$\frac{1}{2}$AC的长为半径画弧，两弧交于点E，F，直线EF交AD于点M，交BC于点N，若AM = 8，DM = 2，则边AB的长为（ ）

A. 6
B. 10
C. $\sqrt{20}$
D. $\sqrt{60}$

答案：
6.D　解析:如图，连接CM.
　由作图可知，MN垂直平分线段AC，
∴MA=MC=8.
　
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°.
　在Rt△CDM中,CD²+DM²=CM²,
　即CD²+2²=8²,得CD=　$\sqrt{60}$
　由四边形ABCD是矩形，得AB=CD=　$\sqrt{60}$.
　故选D.

7.［教材P20习题6.6T1变式］如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD，垂足为点E，若BE = OE = 1 cm，则∠AOB = ______°，$S_{矩形ABCD}$ = ______$cm^{2}$.

答案： 7.60　4$\sqrt{3}$　解析:
∵BE=OE=1cm,AE⊥BD,
∴OB=2cm,AE是BO的垂直平分线，
∴AB=AO.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD,AO=CO,BO=DO,
∴AO=BO=AB=2cm,
∴△ABO是等边三角形,∠AOB=60°.
　由勾股定理,得AE²+BE²=AB²,即AE²+1²=2²，
　则AE=√3cm,
∴S△ABO=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$=√3(cm²),
　根据三角形等底等高面积相等，则矩形ABCD的面积=
　4SABO=4$\sqrt{3}$cm²².

8.（2024·东莞校级模拟）如图，矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F，连接BE，DF.
（1）求证：△BOF≌△DOE；
（2）若AB = 4，AD = 8，求四边形EBFD的周长.

答案： 8.
(1)证明:
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD/BC,
∴∠OED=∠OFB.
∵O是BD的中点，
∴OD=OB,
　在△DOE和△BOF中,
　∠OED=∠OFB,∠DOE=∠BOF,OD=OB,
∴△DOE≌△BOF(AAS).
(2)解:
∵AD//BC，点E，点F分别在AD,BC上，
∴DE//BF.
∵△DOE≌△BOF,
∴DE=BF,
∴四边形BFDE是平行四边形,
∵EF⊥BD,
∴四边形BFDE是菱形，
∴BE=DE=BF=DF.
∵∠A=90°,AB=4,AD=8,
∴AB²+AE²=BE²²,AE=8−DE=8−BE,
∴4²+(8−BE)²=BE²,解得BE=5,
∴BE+DE+BF+DF=4BE=4×5=20,
∴四边形EBFD的周长为20.

9. 如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，AB = 1，∠ABE = 45°，则BC的长为（ ）

A. $\sqrt{2}$
B. 1.5
C. $\sqrt{3}$
D. 2

答案： 9.A　解析:
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC,,
∴∠DEC=∠BCE.
∵EC平分∠DEB,
∴∠DEC=∠BEC,
∴∠BEC=∠ECB,
∴BE=BC.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°.
∵∠ABE=45°,
∴∠ABE=∠AEB=45°,
∴AB=AE=1.
　在Rt△ABE中,由勾股定理,得BE²=AB²²+AE²²,
　即BE²=1²+1²,则BE=√2.
∴BC=$\sqrt{2}$.故选A.

10. 如图，矩形ABCD中，AB = 6，BC = 8，连接AC，以点C为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AC，CD于点E，F；分别以点E，F为圆心，以大于$\frac{1}{2}$EF长为半径作弧，两弧相交于点P；作射线CP，交AD于点H. 则△ACH的面积为________.

答案：
10.15　解析:
∵四边形ABCD是矩形，
　
∴AD=BC=8,CD=AB=6,∠ADC=90°.
　　由勾股定理,可得AB²+BC²=AC²,即6²²+8²=AC²,则
AC=10,
　如图,作HQ⊥AC交AC于点Q.
　　由作图可知CP是∠ACD的平分线，
　　 又
∵∠ADC=∠HQC=90°,
　
∴HQ=HD,CQ=CD=6.
设HQ=HD=x,
　则AH=8−x,AQ=10−6=4,
　在Rt△AHQ中,由勾股定理，可得AQ²+HQ²=AH²,即4²+x²=(8−x)²,解得x=3,
∴S△ACH=$\frac{1}{2}$.AC.HQ=$\frac{1}{2}$×10×3=15.

11. 如图，矩形ABCD中，∠ABD，∠CDB的平分线BE，DF分别交边AD，BC于点E，F.
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）当四边形BEDF是菱形时，∠ABD = 60°，ED = 2，求BD的长.

答案： 11.
(1)证明:
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//DC,AD//BC,
∴∠ABD=∠CDB.
∵BE平分∠ABD,DF平分∠BDC,
∴∠EBD=$\frac{1}{2}$∠ABD,∠FDB=$\frac{1}{2}$∠BDC,
∴∠EBD=∠FDB,
∴BE//DF.
　又
∵AD//BC,
∴四边形BEDF是平行四边形.
(2)解:
∵∠ABD=60°,BE平分∠ABD,
∴∠ABE=∠DBE=30°.
∵四边形BEDF是菱形，
∴DE=BE=2,
∴∠EDB=∠EBD=30°,
∴BD=2AB.
∵∠ABE=30°,∠A=90°,
∴AE=$\frac{1}{2}$BE=1,
　则根据勾股定理得AB²+AE²=BE²²,即AB²+1²=2²,得AB=　　$\sqrt{3}$,
∴BD=2AB=2$\sqrt{3}$.