《2025年正大图书练测考八年级数学下册鲁教版》

9.（2024·通辽）如图，□ABCD的对角线AC，BD交于点O，以下条件不能证明□ABCD是菱形的是 （ ）

A. ∠BAC = ∠BCA
B. ∠ABD = ∠CBD
C. OA² + OD² = AD²
D. AD² + OA² = OD²

答案： D

10. 如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BD = 2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点. 下列结论正确的是 （ ）
①EG = EF；②△EFG≌△GBE；③FB平分∠EFG；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形.

A. ③⑤
B. ①②④
C. ①②③④
D. ①②③④⑤

答案： B

11.（2024·青岛市南区校级模拟）如图，四边形ABCD是平行四边形，延长DA，BC，使得AE = CF，连接BE，DF.
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）连接BD，若∠1 = 32°，∠ADB = 22°，请直接写出当∠ABE = ________°时，四边形BFDE是菱形.

答案：
(1)证明：$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AB = CD$，$\angle BAD=\angle BCD$，$\therefore\angle 1=\angle DCF$.
在$\triangle ABE$和$\triangle CDF$中，
$AE = CF$，$\angle 1=\angle DCF$，$AB = CD$，
$\therefore\triangle ABE\cong\triangle CDF(SAS)$.
(2)解：当$\angle ABE = 12^{\circ}$时，四边形$BFDE$是菱形.
理由如下：
$\because\triangle ABE\cong\triangle CDF$，$\therefore BE = DF$，$AE = CF$，$\therefore BF = DE$，
$\therefore$四边形$BFDE$是平行四边形.
$\because\angle 1 = 32^{\circ}$，$\angle ADB = 22^{\circ}$，
$\therefore\angle ABD=\angle 1-\angle ADB = 10^{\circ}$.
$\because\angle ABE = 12^{\circ}$，$\therefore\angle DBE=\angle ABD+\angle ABE = 22^{\circ}$，
$\therefore\angle DBE=\angle ADB = 22^{\circ}$，$\therefore BE = DE$，
$\therefore$平行四边形$BFDE$是菱形.
答案：$12$

12. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，M是BD上任意一点，连接AM并延长至点N，使AM = MN，交BC于点H，连接CN，BN.
（1）求证：OM//CN；
（2）连接CM，若AD⊥AN，且AC = AB，求证：四边形BNCM是菱形.

答案： 证明：
(1)$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，$\therefore OA = OC$.
$\because AM = MN$，$\therefore OM$是$\triangle ACN$的中位线，$\therefore OM// CN$.
(2)$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AD// BC$.$\because AD\perp AN$，$\therefore BC\perp AN$.
$\because AB = AC$，$\therefore BH = CH$.
由
(1)可知$OM// CN$，$\therefore\angle MBH=\angle NCH$.
在$\triangle MBH$和$\triangle NCH$中，$\begin{cases}\angle MBH=\angle NCH,\\BH = CH,\\\angle BHM=\angle CHN,\end{cases}$
$\therefore\triangle MBH\cong\triangle NCH(ASA)$，$\therefore MH = NH$，
$\therefore$四边形$BNCM$是平行四边形.
又$\because BC\perp MN$，$\therefore$平行四边形$BNCM$是菱形.

13. 如图所示，四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，AO = CO = 4，BO = DO = 3，点P为线段AC上的一个动点. 过点P分别作PM⊥AD于点M，作PN⊥DC于点N. 连接PB，在点P运动过程中，PM + PN + PB的最小值为________.

答案：
$7.8$
解析：$\because AO = CO = 4$，$BO = DO = 3$，
$\therefore AC = 8$，四边形$ABCD$是平行四边形.
$\because AC\perp BD$于点$O$，
$\therefore$平行四边形$ABCD$是菱形，
$AD^{2}=AO^{2}+DO^{2}=4^{2}+3^{2}$，即$AD = 5$，
$\therefore CD = AD = 5$.
连接$PD$，如图所示.

$\because S_{\triangle ADP}+S_{\triangle CDP}=S_{\triangle ADC}$，
$\therefore\frac{1}{2}AD\cdot PM+\frac{1}{2}DC\cdot PN=\frac{1}{2}AC\cdot OD$，
即$\frac{1}{2}\times5\times PM+\frac{1}{2}\times5\times PN=\frac{1}{2}\times8\times3$，
$\therefore 5\times(PM + PN)=8\times3$，
$\therefore PM + PN = 4.8$，
$\therefore$当$PB$最短时，$PM + PN + PB$有最小值.
由垂线段最短可知：当$BP\perp AC$时，$PB$最短，
$\therefore$当点$P$与点$O$重合时，$PM + PN + PB$有最小值，最小值为$4.8 + 3 = 7.8$.