《2025年正大图书练测考八年级数学下册鲁教版》

10.（玉林中考）一个三角形支架三条边长分别是$75\ cm$，$100\ cm$，$120\ cm$，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为$60\ cm$，$120\ cm$的两根木条，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的截法有（ ）
A. 一种
B. 两种
C. 三种
D. 四种

答案： B 解析：设截成的两边的长分别为$x\mathrm{cm},y\mathrm{cm}$，
若从$60\mathrm{cm}$长的木条上截取，
$\because x + y\leqslant60\lt120$，
$\therefore$不符合题意.
若从$120\mathrm{cm}$长的木条上截取，
①当$60\mathrm{cm}$与$75\mathrm{cm}$是对应边时，
$\because$两三角形相似，
$\therefore\frac{60}{75}=\frac{x}{100}=\frac{y}{120}$，
解得$x = 80,y = 96$.
$\because80 + 96 = 176\gt120$，
$\therefore$此种情况不符合题意；
②当$60\mathrm{cm}$与$100\mathrm{cm}$是对应边时，
$\because$两三角形相似，
$\therefore\frac{60}{100}=\frac{x}{75}=\frac{y}{120}$，
解得$x = 45,y = 72$.
$\because60\lt45 + 72 = 117\lt120$，
$\therefore$从$120\mathrm{cm}$长的木条上截取$45\mathrm{cm}$和$72\mathrm{cm}$两根木条；
③当$60\mathrm{cm}$与$120\mathrm{cm}$是对应边时，
$\because$两三角形相似，
$\therefore\frac{60}{120}=\frac{x}{75}=\frac{y}{100}$，
解得$x = 37.5,y = 50$.
$\because60\lt37.5 + 50 = 87.5\lt120$，
$\therefore$从$120\mathrm{cm}$长的木条上截取$37.5\mathrm{cm}$和$50\mathrm{cm}$两根木条.
综上所述，若两三角形相似，共有两种截法：①从$120\mathrm{cm}$长的木条上截取$45\mathrm{cm}$和$72\mathrm{cm}$两根木条；②从$120\mathrm{cm}$长的木条上截取$37.5\mathrm{cm}$和$50\mathrm{cm}$两根木条.
故选B.

11. 如图，在$\triangle ABC$和$\triangle ADE$中，$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}$，$\angle BAE = 80^{\circ}$，$\angle DAC = 2\angle DAB$，则$\angle CAE$的度数为______.

答案： $20^{\circ}$

12. 如图，$AB// DE$，$AC// DF$，$BC// EF$，则$\triangle DEF$与$\triangle ABC$相似吗？为什么？

答案： 解：相似. 理由：$\because AB// DE,\therefore\triangle ODE\sim\triangle OAB,\therefore\frac{DE}{AB}=\frac{OE}{OB}$. $\because BC// EF,\therefore\triangle OEF\sim\triangle OBC,\therefore\frac{EF}{BC}=\frac{OE}{OB}=\frac{OF}{OC}$.
$\because AC// DF,\therefore\triangle ODF\sim\triangle OAC,\therefore\frac{DF}{AC}=\frac{OF}{OC},\therefore\frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}=\frac{DF}{AC},\therefore\triangle DEF\sim\triangle ABC$.

13. [推理能力]我们把顶点都在格点上的三角形叫做格点三角形，如图，$\triangle ABC$就是格点三角形，设每个小正方形的边长为$1$.
(1)在图1中，有格点$D$，$E$，再找一个格点$P$，使这三点所成的$\triangle PDE$与$\triangle ABC$相似；
(2)在图2中，有格点$M$，$N$，再找一个格点$Q$，使这三点所成的$\triangle QMN$与$\triangle ABC$相似，且$\triangle QMN$面积最大.

答案：
解：
(1)由题意，得$AC=\sqrt{2},BC = 2,AB=\sqrt{10},DE = 2\sqrt{2}$.
若$\triangle PDE\sim\triangle ABC$，则$DE:BC = PE:AC = PD:AB$，
$\therefore PE:\sqrt{2}=PD:\sqrt{10}=2\sqrt{2}:2,\therefore PE = 2,PD = 2\sqrt{5}$.
如图1，点$P$即为所求. (答案不唯一)

(2)由题意，得$MN = 4$. 若$\triangle QMN$的面积最大，则$MN$与$AC$对应.
由网格中$MN$的位置，可知$\triangle QMN\sim\triangle BCA$，即$MN:AC = QM:BC = QN:AB = 2\sqrt{2}:1$.
$\because BC = 2,AB=\sqrt{10},\therefore QM = 4\sqrt{2},QN = 4\sqrt{5}$.
如图2，点$Q$即为所求.