《2025年正大图书练测考八年级数学下册鲁教版》

1. (2024·济宁邹城市期中)估计$\sqrt{27}-\sqrt{15}\times\sqrt{\frac{1}{5}}$的运算结果应在 （ ）
A. 1到2之间
B. 2到3之间
C. 3到4之间
D. 4到5之间

答案： C

2. (2024·德州乐陵市校级月考)如图，将数$-\sqrt{5}$，$\sqrt{7}$，$\sqrt{13}$表示在数轴上，其中能被墨迹覆盖的数是_________.

答案： √7　解析:
∵−3＜−$\sqrt{5}$＜−2,2＜$\sqrt{7}$＜3,3＜$\sqrt{13}$＜4,且墨迹覆盖的范围是1至3，
∴能被墨迹覆盖的数是　$\sqrt{7}$

3. (2024·滨州滨城区期末)已知$x = 2\sqrt{3}+2$，$y = 2\sqrt{3}-2$，则$x^{2}-2xy + y^{2}=$_________.

答案： 16　　解析:x²−2xy+y²=(x−y)²=[(2$\sqrt{3}$+2)−(2√3−2)]²=(2$\sqrt{3}$+2−2$\sqrt{3}$+2)²=4²=16.

4. 计算：$(5+\sqrt{6})\times(5\sqrt{2}-2\sqrt{3})$.

答案： 解:原式=(5+$\sqrt{6}$)×[5$\sqrt{2}$−($\sqrt{2}$)²×$\sqrt{3}$]
　=(5+　$\sqrt{6}$)×　$\sqrt{2}$×(5 - $\sqrt{6}$)
　=$\sqrt{2}$×(5+$\sqrt{6}$)×(5−$\sqrt{6}$)
　=$\sqrt{2}$×(25−6)
　=19$\sqrt{2}$

5. 计算：$\frac{\sqrt{6}+4\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{(\sqrt{6}+\sqrt{3})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}$.
[提示：$\sqrt{6}+4\sqrt{3}+3\sqrt{2}=(\sqrt{6}+\sqrt{3})+3(\sqrt{3}+\sqrt{2})$]

答案： 解:原式=$\frac{(\sqrt{6}+\sqrt{3})+3(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{6}+\sqrt{3})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}$
　=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{3}}{(\sqrt{6}+\sqrt{3})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}$+$\frac{3(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{6}+\sqrt{3})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}$
　=$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$+$\frac{3}{\sqrt{6}+\sqrt{3}}$
　=$\sqrt{3}-\sqrt{2}$+$\sqrt{6}-\sqrt{3}$
　=$\sqrt{6}-\sqrt{2}$.

6. 已知$n=\sqrt{2}+1$，求：$\frac{n + 2+\sqrt{n^{2}-4}}{n + 2-\sqrt{n^{2}-4}}+\frac{n + 2-\sqrt{n^{2}-4}}{n + 2+\sqrt{n^{2}-4}}$的值.

答案： 解:设x=n+2+$\sqrt{n²−4}$,y=n+2−$\sqrt{n²−4}$
　则x+y=2n+4,xy=4n+8.
　原式=$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{x}$=$\frac{x² + y²}{xy}$=$\frac{(x + y)² - 2xy}{xy}$=$\frac{(x + y)²}{xy}$−2=$\frac{(2n+4)²}{4n+8}$−2=n.
　当n=$\sqrt{2}$+1时，原式=$\sqrt{2}$+1.

7. 已知$x=\frac{1}{3 - 2\sqrt{2}}$，$y=\frac{1}{3 + 2\sqrt{2}}$，求$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-4$的值.

答案： 解:由已知，得x=3+2$\sqrt{2}$,y=3−2$\sqrt{2}$,
　所以x+y=6,xy=1,
　所以原式=$\frac{x² + y² - 4xy}{xy}$=$\frac{(x + y)² - 6xy}{xy}$=30.

8. 计算：$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2+\sqrt{6}+\sqrt{10}+\sqrt{15}}$.

答案： 解:$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2+\sqrt{6}+\sqrt{10}+\sqrt{15}}$=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}(\sqrt{2}+\sqrt{3})+\sqrt{5}(\sqrt{2}+\sqrt{3})}$=
　$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}+\sqrt{5})}$=$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2})}$=
　$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{5 - 2}$=$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}$.

9. (2024·德州齐河县期末改编)已知$a+\frac{1}{a}=\sqrt{6}$，则$a-\frac{1}{a}=$_________.

答案： ±$\sqrt{2}$　解析:
∵a+$\frac{1}{a}$=$\sqrt{6}$,
∴(a+$\frac{1}{a}$)²=a²+($\frac{1}{a}$)²+2=6,
∴a²+($\frac{1}{a}$)²−2=2,
∴(a−$\frac{1}{a}$)²=2,
∴a−$\frac{1}{a}$=$\sqrt{2}$或a−$\frac{1}{a}$=−$\sqrt{2}$.