《2025年正大图书练测考八年级数学下册鲁教版》

11.如图，在$Rt\triangle ABC$中，$AB = 6\ cm$，$BC = 8\ cm$.点$P$从点$A$出发，沿$AB$边以$1\ cm/s$的速度向点$B$移动；点$Q$从点$B$同时出发，沿$BC$边以$2\ cm/s$的速度向点$C$移动.规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动.问经过几秒后，$P$，$Q$两点的距离是$4\sqrt{2}\ cm$?

答案： 解:设经过t秒后，P，Q两点的距离是4$\sqrt{2}$cm,
　根据题意,得0≤t≤4,AP=tcm,BQ=2tcm,
∴BP=(6−t)cm.
根据题意,得(2t)²+(6−t)²=(4√2)²,
　整理,得(5t−2)(t−2)=0,解得tI=$\frac{2}{5}$,t2=2.
　答:$\frac{2}{5}$秒或2秒后，P，Q两点间的距离等于4$\sqrt{2}$cm.

12.幸福小区规划在一个长为40 m，宽为26 m的矩形场地$ABCD$上修建三条同样宽的通道，使其中两条与$AB$平行，另一条与$AD$平行，其余部分种草，若要使草坪的面积为$864\ m^{2}$，求通道的宽度.

答案： 解:设通道的宽为xm,则种草部分可合成长为(40−2x)m,宽为(26−x)m的矩形.
　依题意，得(40−2x)(26−x)=864,
　整理,得x²−46.x+88=0,
　解得x1=2,x2=44(不符合题意，舍去).
　答:通道的宽为2m.

13.已知关于$x$的方程$x^{2}-(2m + 1)x+m(m + 1)=0$.
(1)求证：无论$m$为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
(2)设方程的两根分别为$x_{1}$，$x_{2}$，且$x_{1}$，$x_{2}$分别是一个菱形的两条对角线长，已知菱形的面积为6，求$m$的值.

答案：
(1)证明:
∵△=[−(2m+1)]²−4m(m+1)=4m²+4m+1 −4m²−4m=1＞0,
∴无论m为何实数,x²−(2m+1)x+m(m+1)=0总有两个不相等的实数根.
(2)解:
∵方程x²−(2m+1)x+m(m+1)=0的两根分别为x1,x2,
∴x1.x2=m(m+1).
∵x1,x2分别是一个菱形的两条对角线长，已知菱形的面积为6，,
∴$\frac{1}{2}$x1.x2=6,
∴$\frac{1}{2}$m(m+1)=6,解得m=−4或m=3,
　当m=−4时,x1=−3,x2=−4,不符合题意，舍去，
　当m=3时,x1=3,x2=4符合题意，
∴m的值为3.