《2025年正大图书练测考八年级数学下册鲁教版》

13. 下列各式中，一定能成立的有 （ ）
①$\sqrt{(-2.5)^{2}} = (\sqrt{2.5})^{2}$；②$\sqrt{a^{2}} = (\sqrt{a})^{2}$；
③$\sqrt{x^{2}-2x + 1} = x - 1$；④$\sqrt{x^{2}-9} = \sqrt{x - 3}\cdot\sqrt{x + 3}$.
A. ①
B. ①④
C. ①③④
D. ①②③④

答案： A

14. 观察式子：
$\sqrt{4\times9} = \sqrt{36} = 6$，$\sqrt{4}\times\sqrt{9} = 2\times3 = 6$；
$\sqrt{\frac{49}{100}\times\frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{441}{400}} = \frac{21}{20}$，
$\sqrt{\frac{49}{100}}\times\sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{7}{10}\times\frac{3}{2} = \frac{21}{20}$；
$\sqrt{0.25\times0.04} = \sqrt{0.01} = 0.1$，
$\sqrt{0.25}\times\sqrt{0.04} = 0.5\times0.2 = 0.1$.
由此猜想$\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}(a\geq0,b\geq0)$.
上述探究过程蕴含的思想方法是 （ ）
A. 特殊与一般
B. 类比
C. 转化
D. 公理化

答案： A

15. 已知$a＜2$，则点$M(\sqrt{a^{2}+1},-\sqrt{(a - 2)^{2}})$在第_______象限. （ ）
A. 一
B. 二
C. 三
D. 四

答案： D

16. 已知$|a| = 3$，$\sqrt{b^{2}} = 5$，且$|a + b| = a + b$，那么$a + b$的值是 （ ）
A. 2或8
B. 2或 - 8
C. - 2或8
D. - 2或 - 8

答案： A

17. 甲、乙两个同学计算$a + \sqrt{1 - 2a + a^{2}}$的值，当$a = 3$时得到不同的答案. 甲的解答是$a + \sqrt{1 - 2a + a^{2}} = a + \sqrt{(1 - a)^{2}} = a + 1 - a = 1$；乙的解答是$a + \sqrt{1 - 2a + a^{2}} = a + \sqrt{(a - 1)^{2}} = a + a - 1 = 2a - 1 = 5$. 下列判断正确的是 （ ）
A. 甲、乙都对
B. 甲、乙都错
C. 甲对，乙错
D. 甲错，乙对

答案： D

18. 不用计算器回答：已知$\sqrt{2}\approx1.414$，$\sqrt{20}\approx4.472$，则$\sqrt{2000000}\approx$_______，$\sqrt{0.002}\approx$_______.

答案： 1414　0.04472

19. (2024·潍坊高密市月考改编)已知$y = \sqrt{(x - 4)^{2}} - x + 5$，当$x$分别取1，2，3，…，2012时，所对应的$y$值的总和是_______.

答案： 2024　解析:当x＜4时,原式=4−x−x+5=−2x+9,
∴当x=1时,原式=−2×1+9=7;
　当x=2时,原式=−2×2+9=5;
　当x=3时,原式=−2×3+9=3.
　当x≥4时,原式=x−4−x+5=1,
∴当x分别取1,2,3,...,2012时，
　所对应y值的总和是7+5+3+1+1+…+1=15+1×2009个1
　=2024.

20. 观察下列各式及验证过程：
$\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{3}}$，验证：$\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{1}{2\times3}} = \sqrt{\frac{2}{2^{2}\times3}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{3}}$；
$\sqrt{\frac{1}{2}(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})} = \frac{1}{3}\sqrt{\frac{3}{8}}$，验证：$\sqrt{\frac{1}{2}(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})} = \sqrt{\frac{1}{2\times3\times4}} = \sqrt{\frac{3}{2\times3^{2}\times4}} = \frac{1}{3}\sqrt{\frac{3}{8}}$；
$\sqrt{\frac{1}{3}(\frac{1}{4}-\frac{1}{5})} = \frac{1}{4}\sqrt{\frac{4}{15}}$，验证：$\sqrt{\frac{1}{3}(\frac{1}{4}-\frac{1}{5})} = \sqrt{\frac{1}{3\times4\times5}} = \sqrt{\frac{4}{3\times4^{2}\times5}} = \frac{1}{4}\sqrt{\frac{4}{15}}$.
(1)按照上述三个等式及其验证过程的基本思路，①猜想：$\sqrt{\frac{1}{4}(\frac{1}{5}-\frac{1}{6})} =$_______；
②猜想$\sqrt{\frac{1}{8}(\frac{1}{9}-\frac{1}{10})}$的变形结果，并进行验证；
(2)针对上述各式反映的规律，写出用$n$（$n\geq2$且$n$为自然数）表示的等式，并进行验证.

答案： 解:
(1)①$\frac{1}{5}$$\sqrt{\frac{5}{24}}$
　② $\sqrt{\frac{1}{8}(\frac{1}{9}-\frac{1}{10})}$=$\frac{1}{9}$$\sqrt{\frac{9}{80}}$
　验证: $\sqrt{\frac{1}{8}(\frac{1}{9}-\frac{1}{10})}$=$\sqrt{\frac{1}{8×9×10}}$=$\sqrt{\frac{9}{8×9²×10}}$=
　$\frac{1}{9}$$\sqrt{\frac{9}{80}}$.
(2)$\sqrt{\frac{1}{n}(\frac{1}{n + 1}-\frac{1}{n + 2})}$=$\frac{1}{n + 1}$ $\sqrt{\frac{n + 1}{n²+2n}}$
　验证: $\sqrt{\frac{1}{n}(\frac{1}{n + 1}-\frac{1}{n + 2})}$=$\sqrt{\frac{1}{n(n + 1)(n + 2)}}$=
　$\sqrt{\frac{n + 1}{n(n + 1)²(n + 2)}}$=$\frac{1}{n + 1}$ $\sqrt{\frac{n + 1}{n²+2n}}$.