《2025年正大图书练测考八年级数学下册鲁教版》

11.（2024·重庆B）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接AE，AF，AM平分$\angle EAF$交CD于点M. 若$BE = DF = 1$，则DM的长度为（ ）

A. 2
B. $\sqrt{5}$
C. $\sqrt{6}$
D. $\frac{12}{5}$

答案： B

12. 在四边形ABCD中，$AB = BC$，$\angle ABC = \angle CDA = 90^{\circ}$，$BE\perp AD$于点E，$S_{四边形ABCD}=9$，则$BE =$（ ）

A. 9
B. 3
C. $\pm3$
D. 无法确定

答案： B 解析：如图，过$B$作$BF\perp DC$的延长线于点$F$。
$\because\angle ABC=\angle CDA = 90^{\circ},BF\perp CD$，
$\therefore\angle ABE+\angle EBC=\angle CBF+\angle EBC$，
$\therefore\angle ABE=\angle CBF$。
又$\because BE\perp AD,BF\perp DF$，且$AB = BC$，
$\therefore\triangle AEB\cong\triangle CFB(AAS)$，
$\therefore BE = BF,S_{\triangle AEB}=S_{\triangle CFB}$。
$\because BE\perp AD,\angle CDA = 90^{\circ},BE = BF$，
$\therefore$四边形$BEDF$为正方形。
$\because$四边形$ABCD$的面积为$9$，
即$S_{四边形ABCD}=S_{\triangle AEB}+S_{四边形BEDC}=S_{四边形BEDC}+S_{\triangle CFB}=9$。
$\therefore BE^{2}=9$，则$BE = 3$。
故选B。

13.（宁夏中考）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E在AD上，连接EB，EC，则图中阴影部分的面积是______.

答案： 2

14. 如图，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，且$\angle BAE = 68^{\circ}$，延长AE交CD于点F，连接CE，则$\angle CEF$的度数为______.

答案： $46^{\circ}$

15.（中考中考）如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的一点（与点B，D不重合），$GE\perp CD$，$GF\perp BC$，E，F分别为垂足，连接EF，AG，并延长AG交EF于点H.
(1) 求证：$\angle DAG = \angle EGH$；
(2) 判断AG与EF的关系，并说明理由.

答案：
(1)证明：在正方形$ABCD$中，$AD\perp CD,GE\perp CD$，
$\therefore\angle ADE=\angle GEC = 90^{\circ}$，$\therefore AD// GE$，
$\therefore\angle DAG=\angle EGH$。
(2)解：$AG = EF$且$AG\perp EF$。
理由如下：
连接$GC$交$EF$于点$O$，如图。
$\because BD$为正方形$ABCD$的对角线，
$\therefore\angle ADG=\angle CDG = 45^{\circ}$。
又$\because DG = DG,AD = CD$，
$\therefore\triangle ADG\cong\triangle CDG(SAS)$，
$\therefore AG = CG,\angle DAG=\angle DCG$。
在正方形$ABCD$中，$\angle ECF = 90^{\circ}$，
又$\because GE\perp CD,GF\perp BC$，
$\therefore$四边形$FCEG$为矩形，$\therefore CG = EF$，$\therefore AG = EF$。
$\because OE = OC$，$\therefore\angle OEC=\angle OCE$，$\therefore\angle DAG=\angle OEC$，
由
(1)得$\angle DAG=\angle EGH$，$\therefore\angle EGH=\angle OEC$。
$\therefore\angle EGH+\angle GEH=\angle OEC+\angle GEH=\angle GEC = 90^{\circ}$，
$\therefore\angle GHE = 90^{\circ}$，$\therefore AH\perp EF$。