《2025年正大图书练测考八年级数学下册鲁教版》

7. 用配方法解下列方程，配方错误的是 （ ）
A. $x^{2}+2x - 99 = 0$化为$(x + 1)^{2}=100$
B. $2x^{2}-7x - 4 = 0$化为$(x-\frac{7}{4})^{2}=\frac{81}{16}$
C. $x^{2}+8x + 9 = 0$化为$(x + 4)^{2}=25$
D. $3x^{2}-4x - 2 = 0$化为$(x-\frac{2}{3})^{2}=\frac{10}{9}$

答案： C

8. 当$x =$________时，代数式$3x^{2}-2x + 1$有________（填“最大值”或“最小值”），这个值是________.

答案： $\frac{1}{3}$ 最小值 $\frac{2}{3}$

9. 学校计划利用一块空地修建一个学生自行车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米，建造车棚的面积为80平方米，已知新建板墙的木板材料的总长为26米，为了方便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开一个2米宽的门（如图），那么车棚的长与宽分别为多少米？

答案： 解：设垂直于墙的一边长为$x$米. 根据题意，得$x(26 - 2x + 2)=80$，解得$x_{1}=10,x_{2}=4$(不合题意，舍去).
$\therefore 26 - 2\times10 + 2 = 8$(米).
故车棚的长为10米，宽为8米.

10. [应用意识]【阅读材料】我们都知道$a^{2}+2ab + b^{2}=(a + b)^{2},a^{2}-2ab + b^{2}=(a - b)^{2}$，
于是：$-2x^{2}+40x + 5$
$=-2(x^{2}-20x)+5$
$=-2(x^{2}-2\cdot x\cdot10 + 10^{2}-10^{2})+5$
$=-2[(x - 10)^{2}-100]+5$
$=-2(x - 10)^{2}+205$.
又$\because(x - 10)^{2}\geq0$，
$\therefore-2(x - 10)^{2}\leq0$，
$\therefore-2(x - 10)^{2}+205\leq205$，
$\therefore-2x^{2}+40x + 5$有最大值205.
【解决问题】如图，某农户准备用长34米的铁栅栏围成一边靠墙（墙足够长）的矩形羊圈$ABCD$和一个边长为1米的正方形狗屋$CEFG$.设$AB = x$米.
(1)请用含$x$的代数式表示$BC$的长；（写出具体解题过程）
(2)设山羊活动范围即图中阴影部分的面积为$S$，试用含$x$的代数式表示$S$，并计算当$x = 5$时$S$的值；
(3)试求出山羊活动范围的面积$S$的最大值.

答案： 解：
(1)依题意，得$AB = DC = x$米，$EF = FG = 1$米.
$AB + DC + BC + EF + FG = 34$米，
$\therefore 2x + BC + 2 = 34$，
$\therefore BC=(32 - 2x)$米.
(2)依题意，得$S = S_{矩形ABCD}-S_{正方形CEFG}=x(32 - 2x)-1=-2x^{2}+32x - 1$.
当$x = 5$时，$S=-2\times5^{2}+32\times5 - 1 = 109$(平方米).
(3)$S=-2x^{2}+32x - 1=-2(x^{2}-16x + 64)+127=-2(x - 8)^{2}+127$.
又$\because (x - 8)^{2}\geq0$，$\therefore - 2(x - 8)^{2}\leq0$，
$\therefore - 2(x - 8)^{2}+127\leq127$，
$\therefore$山羊活动范围的面积$S$的最大值是127平方米.